半径与切线

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由圆的切线性质和其判定定理可知：（1）若一条直线经过半径的外端点且垂直于这条半径，则这条直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于过切点的半径.

利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要经过半径来实现，那么怎么来实现呢？下面举例说明.

一、见半径，证垂直

即已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.

例1 如图1，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC. 求证：AD是半圆O的切线.

分析：要证明AD是O的切线，因为AB是O的直径，所以只要证明ABAD即可.

证明：AB是半圆O的直径，∠C=90°.

OD∥BC，∠AEO=∠C=90°，

∠DOA+∠BAC=90°.

∠D=∠BAC，∠DOA+∠D=90°，

ADOA，AD是半圆O的切线.

二、连半径，证垂直

即条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明.

例2已知：如图2，A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB．求证：AB是O的切线.

分析：本题已明确告知“A是O上一点”，因此只需连半径OA，证明OAAB即可.

证明：如图2，连接OA．

OC=BC，AC=OB， OC=BC=AC=OA．

ACO是等边三角形． 故∠AOC=∠ACO=60°，从而∠B=30°，∠OAB=90°．

即OAAB，根据“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”知直线AB是O的切线．

例3 如图3，在AEF中，∠BAC的平分线AD与AEF的外接圆O交于D点，过D点作BC∥EF，分别交AE和AF的延长线于点B和点C.

求证：BC为O的切线.

分析：要证明BC为O的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：①BC要过半径的外端；②BC要与这条半径垂直. 现在BC恰好过O上的一点D，连接OD，条件①就自然具备了，只要证明ODBC问题就会解决. 因为AD平分∠BAC，所以可得DE=DF，根据垂径定理可知ODEF，再利用EF∥BC，可证得ODBC.

证明：连接OD，AD平分∠BAC，DE=DF.

OD为O的半径，ODEF.

又EF∥BC，ODBC.

BC过半径OD的外端D?摇，BC为O的切线.

三、作垂直，证半径

即已知条件若没有给出直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明.

例4 如图4，已知AB为O的直径，过点B作O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC． 求证：CD是O的切线．

分析：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线. 也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理. 欲证明CD是O的切线，只要证明∠ODC＝90°即可．

证明：连接OD．

OC∥AD，∠1＝∠3，∠2＝∠4．

OA＝OD，∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又OB＝OD，OC＝OC，OBC≌ODC．

∠OBC＝∠ODC．

BC是O的切线，∠OBC＝90°．

∠ODC＝90°．

DC是O的切线．