如何破解圆锥曲线解答题

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摘要：新课程标准下的高考越来越注重对学生的综合素质的考查，圆锥曲线这一章出题形式灵活多变，可以充分考查学生综合素质，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起积极的作用。

关键词：轨迹方程 设而不求 点差法

众所周知，圆锥曲线这一章一直以难想、难算在高中阶段著称，致使许多学生谈“锥”色变。其实，只要我们多从解题中发现共性，总结规律，那么圆锥曲线中的难题便会迎刃而解。下面是笔者从教学中得到的一些规律方法，希望对读者有所启示。

题型一：求曲线的轨迹方程

规律方法：求轨迹方程的一般步骤。

（1）根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系。

（2）设取所求轨迹上的任意一点P（x，y），即求谁设谁。

（3）建立（x，y）的一个等量关系，即f（x，y）=0。

建立等量关系的方法：

①直接法，包括勾股定理、点点距离、点线距离、垂直等。②坐标转移法，包括中点坐标公式、定比分点公式、向量等。③参数法，先得到（x，y）的参数方程，再消去参数得到一般方程。④定义法，通过已知条件先明确所求曲线的类别，进而转成待定系数。

（4）对所得的轨迹方程进行检验，确保所得轨迹的纯粹性和完备性。一般把所得到的曲线画出来，即可看到有无不合适的点。

例1.过点P（1，3）作两条互相垂直的直线l1和l2，分别与x轴，y轴交于A，B两点，求A，B两点中点M的轨迹方程？

■

解法一：当l1的斜率不存在时，A（1，0），B（0，3）可得M（■，■）

当l1的斜率存在时，设l1的斜率为k（k≠0），动点M（x，y），则l1：y-3=k（x-1）？圯A（-■+1，0），l2：y-3=-■（x-1）？圯B（0，■+3），得x=-■（■-1）y=■（■+3）？圯x+3y-5=0，（x≠■）

综上所述：M的轨迹方程为x+3y-5=0。

解法二：设A（a，0），B（0，b），M（x，y），由中点坐标公式得，x=■y=■？圯A（2x，0），B（0，2y），由两直线垂直得■·■=0？圯（2x-1，-3）·（-1，2y-3）=0，得M的轨迹方程为x+3y-5=0。

解法三：设A（a，0），B（0，b），M（x，y），由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，|PM|=

|OM|，化简可得M的轨迹方程为x+3y-5=0。

小结：第一种解法为参数法，第二、三种方法为直接法（向量或点点距离）。

题型二：直线和圆锥曲线的位置关系

规律方法：设而不求A（x1，y1），B（x2，y2），然后可用下列方法找等量关系：①联立方程法（易于得到x1，x2，y1，y2之间的关系式）；②点差法（涉及相交弦的中点或对称问题）。

例2.已知椭圆■+■=1和直线l：y=4x+m，试求m在什么范围变化时，椭圆上有两个点关于l对称？

■

解：设存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）， 关于l对称，中点为P（x，y）

直线MN所在直线方程为：y=-■x+b

y=-■x+b3x2+4y2=12？圯■x2-2bx+4b2-12=0，

x=■=■y=■=■，点P在y=4x+m上，得■=■×4+m？圯b=-■

由=4b2-4×■（4b2-12）=4b2-52b2+13×12>0

解得：-■

题型三：最值问题

规律方法：把所求量写成某个变量的函数关系式，注意所选变量的取值范围，转化成函数在某个区间的值域问题。所涉及的函数模型：二次函数、对勾函数、重要不等式、导数、三角函数等。

例3.直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线l经过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围？

■

分析：先找到直线l的方程，得到l在y轴的截距b关于直线m的斜率k的函数关系式，根据函数的形式选择合适的方法求值域。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

y=kx+1x2-y2=1？圯（1-k2）x2-2kx-2=0，

因为交点都在左支上，只需1-k2≠0=4k2+8（1-k2）>0x1+x2=■0？圯1

中点M的坐标为（■，■），P（-2，0），

直线l的方程为：y=■（x+2）？圯b=■，由（-2，0），M，（0，b）共线，得■=■=■，即b=■

下面构造二次函数f（k）=-2k2+k+2，（1

以上是笔者粉末生涯的一点点收获，希望对读者有些帮助。只要我们多发现、多思考、多总结，就一定会在高中数学中得心应手、游刃有余。（责编 高伟）