一次函数图像平移的探究

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我们都知道，一次函数y=kx+b的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx向上(或向下)平移b个单位长度得到。例如，将直线y=3x向上平移1个单位长度就得到直线y=3x+1，将直线y=3x向下平移2个单位长度就可以得到直线y=3x-2。以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移。但需要注意的是，函数图像的平移，既可以上下平移，也可以左右平移。那么，对于一个一般形式的一次函数图像又该怎样进行平移呢？让我们来进行探究。

已知直线l1：y=x＋1，将直线l1向上平移2个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。

分析 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l2的解析式为y=x+b，由于直线l2的解析式中只有一个未知数，因此只需一个条件即可。怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点容易求出，这样就得到一个条件，于是可求出直线l2的解析式。

解 设直线l2的解析式为y=x+b，直线l1交y轴于点（0，1），向上平移2个单位长度后变为（0，3）。把（0，3）坐标代入y=x+b，得b=3，从而直线l2的解析式为y=x＋3。

已知直线l1：y=x＋1，将直线向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。

答案：直线l2的解析式为y=x-2。（解答过程请同学们自己完成）

对比直线l1和直线l2的解析式可以发现：将直线l1：y=x＋1向上平移2个单位长度得到直线l2的解析式为：y=x＋1+2；将直线l1：y=x＋1向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=x＋1-3。（此时你有什么新发现？）

这个规律可以简记为：■

以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b不是上下(或沿y轴)平移，而是左右（或沿x轴）平移，又该怎样进行平移呢？让我们继续探究。

已知直线l1：y=2x-4，将直线l1向左平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。

简解 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l2的解析式为y=2x+b，直线l1交x轴于点（2，0），向左平移3个单位长度后变为点（-1，0）。把点（-1，0）代入y=2x+b中，得b=2，从而直线l2的解析式为y=2x+2。

已知直线l1：y=2x-4，将直线l1向右平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。

答案：直线l2的解析式为y=2x-10。（解答过程请同学们自己完成）

对比问题3、问题4的直线l1和直线l2的解析式可以发现：将直线l1：y=2x-4向左平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2（x+3）-4；将直线l1：y=2x-4向右平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2(x-3)-4。（此时你有什么新发现？）

已知直线l1：y=kx+b，将直线l1向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式。

解 设直线l2的解析式为y=kx+a，直线l1交x轴于点（-■，0），向左平移m个单位长度后变为（-■-m，0），把（-■-m，0）坐标代入直线l2的解析式可得a=km+b。从而直线l2的解析式为y=kx+km+b，即y=k（x+m）+b。