剖析中考复习中“两点之间线段最短”类问题的应用

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近几年中考中“最短类”问题出现得非常频繁，尤其是“两点之间，线段最短”的应用类题目考得更为广泛。“两点之间，线段最短”这个看似简单的定理，其实在整个初中三年图形部分的知识中有着紧密的联系和极为广泛的应用，这就需要教师在中考总复习中将这一“最短”类问题有效地进行分类和整合，使学生在考试中有的放矢地去运用。笔者收集并整理了近几年各省市中考试卷中 “两点之间，线段最短”类的题目进行分析和整合，并归纳了以下几类与其相关的应用。

一、在基本作图题中的应用

“两点之间，线段最短”在作图题中的应用是最基础的，只有熟练地掌握作图，才能去有效地解决一些计算或更加综合的问题。

【例1】已知A、B两点表示两个居民小区，直线l表示一条公路，现在公路旁建一超市，如何使超市到两居民小区的距离最短？

（1）当A、B两点在直线l两侧时（如图1）；

（2）当A、B两点在直线l同侧时（如图2）。

分析：第（1）问在两侧时直接利用“两点之间，线段最短”，所以连接A、B两点与直线l的交点即为所求P点；第（2）是间接利用“两点之间，线段最短”，先将A关于直线l对称为A'，再连接A'B与直线l产生交点P点。

【例2】已知在平面直角坐标系中有两点A（1，1）、B（4，5），在X轴上找点P，使P点到A、B两点的距离和最小。

分析：例2是例1作图的进一步深化，只要熟练掌握上述作图，就很容易找出P点的位置，再简单地运用一次函数运算，则可求出P点的坐标。

二、在平面图形中计算的应用

“两点之间，线段最短”在平面图形计算中的应用比较广泛，也是中考中比较热点的一类问题。在这一类问题中求“最短值”往往应先通过基本作图确定要求的对象，再利用我们常用的数学方法去解决相关问题。

【例1】在如图菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E为AB边上的中点，P为对角线AC上一动点，求PB+PE的最小值。

分析：求PB+PE的最小值，首先应当确定P的位置（如上面的左图到右图的变化），这可以让学生联系上面的基本作图，然后把所求的PB+PE转化为求线段DE，而求线段长度的问题，教师可以让学生回顾一些常用方法，在这问题中是放在直角ADE中确定。

【例2】如图，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是多少？

分析：求PA+PB的最小值，首先应当像上面例1一样确定P点的位置，通过圆是轴对称图形作出B的对称点B'，再连接AB'与MN的交点即为P点，所以PA+PB的最小值就转化为求AB'的长。

三、在立体图形中计算的应用

“两点之间，线段最短”在立体图形中的应用，主要是以平面图形为基础，将立体图形中不在同一平面内的问题转化成同一平面内的问题。

【例1】（1）如图，在棱长为1的正方体A点处有一只蚂蚁想吃到B点处的食物，求蚂蚁A吃到食物B的最短距离。

分析：我们只需将该正方体的侧面展开，直接连接A、B两点，形成线段AB，再利用勾股定理则可求出最短距离。

变式：若把上面的正方体换为长方体呢？

（2）如图，长方体长、宽、高分别为3、2和5，求A到B的最短距离？

分析：由于长方体的长、宽、高各不相等，所以不能简单地展开一个侧面就可以求出最短距离，应当考虑有三种转化形式（如图），即：长、宽、高分别两两组合，形成展开成长方形中的一边，则剩下的作为长方形的另一边，再通过勾股定理求出最短距离。

上述的例1是一种比较常见的立体图形展开形式，如果是圆柱和圆锥呢？

【例2】（1）如图，圆柱体的底面半径为3，高为8，在底面A处有一蜘蛛想吃到上面B处的虫子，应怎样走最近？最短距离为多少？

（2）如图，圆锥的底面半径为5，母线长为10，求底面上一点A到B点（B为母线中点）的最短距离？

分析：题中圆柱、圆锥的侧面展开，正确找出A和B的位置是关键，只不过圆锥的侧面展开，应首先利用公式：

（其中r为底面半径，l为母线长）计算扇形圆心角的度数。然后再通过相应的直角三角形求出线段的长。

“两点之间，线段最短”这个定理的应用贯穿于整个初中阶段的数学教学，尤其在中考总复习中一定要把这些知识点进行有效的串联，形成与之相关的知识网，为复习取得更大的突破创造一个有利的条件。

(作者单位：江苏省海门市树勋初级中学)

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