几何中的函数问题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇几何中的函数问题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【问题】如图1，在ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：■=■；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

【命题意图】本题是2010年福州市的一道中考试题，它既考查了同学们对三角形相似的条件和性质的掌握，也考查了图形运动过程中的最大值或最小值的确定，同时，还考查了分类讨论和运动变化的数学思想方法．

【解题指导】本题中的三个小问，入口较宽，以三角形相似为起点．第（1）问，由于AH是AEF中EF边上的高，AD是ABC中BC边上的高，因此，要证■=■，只需证明AEF与ABC相似即可；第（2）问，矩形EFPQ的面积跟EF的长度有关，根据（1）中的结论可以知道，矩形EFPQ的面积是关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求面积最大值；第（3）问，矩形EFPQ和ABC重叠部分的面积与运动时间有关，运动时间不同，重叠部分的形状不同，因此，需要分类加以讨论，根据不同情况确定面积S与t的函数关系式．

【解题过程】（1） 四边形EFPQ是矩形， EF∥QP，

AEF∽ABC．

又 ADBC， AHEF， ■=■．

（2）由（1）得■=■，AH=■x， EQ=HD=AD-AH=8-■x，

S矩形EFPQ=EF・EQ=x（8-■x）=-■x2+8x=-■（x-5）2+20．

-■＜0， 当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

（3）由（2）得EF=5，EQ=4.

∠C=45°， FPC是等腰直角三角形， PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．

分三种情况讨论：

① 如图2，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，则MFN是等腰直角三角形， FN=MF=t， S=S矩形EFPQ-SRtMFN=20-■t2=-■t2+20；

②如图3，当4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t， S=S梯形EMCQ=■［（5-t）+（9-t）］×4=-4t+28；

③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9-t， S=SKQC

=■（9-t）2=■（t-9）2．

综上所述：S与t的函数关系式为：

S=-■t2+20，（0≤t＜4）-4t+28，（4≤t＜5）■（t-9）2.（5≤t＜9）

【追根溯源】本题类似于苏科版《数学》八年级下册教材第109页第5题：

如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=a，AD=h，PN=2PQ，求矩形PQMN的长和宽（用含a、b的代数式表示）．

【变式拓展】

如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD

=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，经过t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为Scm2．

（1）当t=4时，求S的值；

（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

【参考答案】1．（1）t＝4时，Q与B重合，P与D重合，重合部分是BDC，面积为■・2・2■=2■；

（2）当4≤t≤6时，如图6，则BQ=t-4，CR=6-t，由PQR∽BQK∽CRN得，■=■2=■2，■=■2=■2.

所以S=SPQR-SBQK-SCRN=3■1-■2-■2=■.

当6＜t≤10时，如图7，BR=10-t，BKPK，且∠KRB=30°，所以BK＝■BR

=■（10-t），KR=■（10-t），S=SRtKBR=■BK×KR=■（10-t）2=■（t-10）2.

“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”