发现中学习 学习中发现

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所谓发现学习，就是通过学习者的独立学习，独立思考，自行发现知识，掌握原理原则． 布鲁纳认为，只有学生自己亲自发现的知识才是真正属于他自己的东西． “发现学习”强调的是学习过程，而不是学习的结果． 教师教学的主要目的，就是要学生亲自参与所学知识的体系建构，自己去思考，自己去发现知识． 教师教学的目的不是要学生记住教师和教科书上所陈述的内容，而是要培养学生发现知识的能力，培养学生卓越的智力． 以下是笔者在选修2-2推理与证明教学中的一个体现“发现学习”理念的案例.

例1 已知a，b，c为ABC的三边，求证：abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）.

一、 发现变量关系，利用基本不等式解决

学生经过思考发现不等式左边和右边变量之间存在着关系，即=a，=b，=c，从而自己发现了以下两种证明方法.

证法1：因为a，b，c为ABC的三边，所以b+c-a＞0，a+c-b＞0，a+b-c＞0，

因为（a+b-c）（a+c-b）≤［］2，

所以 （a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）≤a2（b+c-a）.（1）

同理（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）≤b2（b+c-a）.（2）

（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）≤c2（b+c-a）.（3）

因为（1）（2）（3）三式两边都大于0，所以（1）（2）（3）三式两边分别相乘，得［（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）］3≤a2b2c2（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a），

即abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）.

证法2：因为a，b，c为ABC的三边，所以b+c-a＞0，a+c-b＞0，a+b-c＞0，

a＝≥.（4）

b＝≥.（5）

c＝≥.（6）

因为（4）（5）（6）三式两边都大于0，所以（4）（5）（6）三式两边分别相乘，得abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）.

二、 发现新形式，师生合力解决

总结讲解完以上两种方法后，学生1举手说：由（a+c-b），（a+b-c），（b+c-a）这三个量出发，我联想到余弦定理：

cosα＝，cosβ＝，cosγ＝，因此想构造以，，为边长的三角形，利用余弦定理来证明．

不管以上方法能否解决此题，学生1能够发现形式，联想到构造三角形用余弦定理来解决，已经很好了，在全班同学们的掌声中，我当场大力表扬了该学生，并按照他的想法，进行了以下证明.

证法3：a，b，c为ABC的三边，所以b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，

易证+＞，+＞，+＞，所以以，，为三边长也能够构成三角形． 设边，，所对的角分别为α，β，γ． 则α+β+γ＝180°，

由余弦定理得：cosα＝，cosβ＝，cosγ＝，

要证abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a），

只需证abc≥2cosβ?2cosγ?2cosα，

即证：cosα?cosβ?cosγ≤成立，

cosα?cosβ＝＝，

则cosα?cosβ?cosγ＝-cos2γ+cosγ

≤-cos2γ+cosγ，所以当cosγ＝时，

cosα?cosβ?cosγ的最大值为.

证法3方法比较新颖，发现余弦定理形式，进行构造，其中在证明cosα?cosβ?cosγ＝时，学生遇阻，在教师的引导下，师生共同努力，使问题得到了解决．

三、 再现新发现，证法又起波澜

在大家沉浸在证法3的奇妙与解出题目后心情愉悦的时候，对数学很会钻研的学生2举手发言了：由（a+c-b），（a+b-c），（b+c-a）这三个量出发，我联想到必修五课本中的阅读材料里讲过的海伦公式，这个题目我想利用三角形面积来进行解决．

海伦公式：a，b，c为ABC的三边，则ABC的面积S＝，其中p=．

海伦公式是必修五课本中的阅读材料里的内容，不是要求掌握的内容，学生2善于发现，并记住了这个公式，全班同学又有了新的兴趣点，证法再起波澜． 我按照学生2说的思路进行了证明.

证法4：把p=代入S＝得：S＝，

（b+c-a）?（a+c-b）?（a+b-c）＝，（7）

设ABC内切圆的半径为r，外接圆的半径为R. ABC的面积为S.

则S＝（a+b+c）?r， a+b+c＝代入（7）式得（b+c-a）?（a+c-b）?（a+b-c）＝8rS，

S＝absinC=ch，==2R，则h=.

S＝ch=， abc＝4RS.

要证不等式abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）成立，

只需证4RS≥8rS，即证：R≥2r.

证到这里的时候，下课铃声已经响了，我把问题留给了学生供他们课后进行研究，为学生进行研究发现提供了很好的素材．

四、 余兴未尽，课后的新发现

设ABC内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则R≥2r． 这个命题其实就是著名的欧拉公式．在数学历史上有很多公式都是欧拉发现的，它们都叫做欧拉公式．

三角形中的欧拉公式为：设ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，两圆心之间的距离为d，则d＝，当且仅当ABC为正三角形时d＝0．

许多学生课后都对R≥2r的证明进行了研究，班级里兴起了一股数学研究的风气，在当天课后作业中，学生们又显示了一次新的发现.

例2 已知a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：c-＜a＜c+.

常规证法是：

要证c-＜a＜c+，

只需证-＜c-a＜，

也就是证c-a＜，

即需证c-a2＜c2-ab，

即证：a+b＜2c. 而a+b＜2c为已知条件，显然成立，

所以不等式c-＜a＜c+成立．

而有几个学生在做题时发现：c-，c+两个量有点像二次方程求根公式里的两个根，于是大胆猜想，产生了第二种证法.

证明：要证c-＜a＜c+，

只需证＜1＜，

令x1=，x2=，则x1，x2为方程x2-cx+=0的两个根.

令f（x）=x2-cx+，f（1）=-c+=，

a+b＜2c， f（1）＜0， x1＜1＜x2，即＜1＜．

所以原不等式c-＜a＜c+成立．

发现，并不局限于寻求人类尚未知晓的事物． 譬如，案例中学生“发现”一条数学家早已熟知的欧拉公式，但由于事先没有人告诉过他，也没有从自己手头的书上看到（尽管它早已被写在有关的书上），这就是学生自己的发现，是千真万确的发现． 这一条学生自己发现的原理，要比他通过学习别人的发现理解深刻得多，记忆牢固得多．

在“发现学习”的过程中，学生的“直觉思维”对学生的发现活动显得十分重要． 所谓“直觉思维”，就是要求学生在学习过程中不要用正常逻辑思维的方式进行思维，而是要运用学生丰富的想象，发展学生的思维空间，去获取大量的知识． 布鲁纳认为，“直觉思维”虽然不一定能获得正确答案，但由于“直觉思维”能充分调动学生积极的心智活动，因此它就可能转变成“发现学习”的前奏，对学生发现知识和掌握知识是大有帮助的． 本文中学生联想到余弦定理、海伦公式和求根公式都是运用直觉思维的一个体现．在教学中，教师要注重对学生直觉思维的培养，关注学生个性潜能的开发，鼓励学生大胆进行猜想，充分调动学生的学习积极性，体验发现学习的乐趣．