制成一个尽可能大的无盖长方体

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教学目标：

1.经历从实际问题抽象出数学问题——建立数学模型——综合应用已有的知识解决问题的过程。

2.在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感。

3.通过借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。

4.体验数学知识之间的内在联系，初步体会数学是一个整体。

5.获得一些研究问题的方法和经验。

6.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。活动准备：

要求学生自带若干张边长为20cm的正方形纸片，剪刀，透明胶。

活动目的：

1.本活动是为解决后续问题打下必要的基础，同时在具体活动中，学生必将经历尝试、猜想等思维活动和展开、折叠等操作活动，从而有利于发展学生的数学活动经验。此外，在活动中学生还将自主地复习简单几何体（长方体）展开图的有关知识，因此可以有“温故”之效。

2.让学生经历列代数式、代数式求值与比较、从有关数据中观察规律和发展趋势的过程，进一步发展学生的数学活动经验和合作交流的能力，同时得到问题的初步结论，为后续进一步获得问题的精细结果提供思路。

活动过程：

1.教师明确活动内容：

要用一张正方形的纸制成一个无盖长方体，在制作的过程中，怎样使得你所做的无盖长方体容积更大。

2.带上问题去操作：

①无盖长方体展开后是什么样子？我们应该怎样剪？怎样折？

②剪去的小正方形的边长在什么范围，它与折成的无盖长方体的高有什么关系？

③制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？

④什么情况下无盖长方体的体积会较大？

3.分小组制作，在制作过程中合作探究。一般情况下，不用教师的过多引导，学生都能通过合作制作出无盖长方体，如果学生存在一定的困难，可以给予学生个别的指点，尽量不要对学生全体进行指导，以避免减少部分学生探索的空间。

①如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，填写下表中的容积。

②观察自己所做填写的表格，你从中发现了什么？

③当小正方形边长取什么值时，所得的无盖长方体的容积最大？

④根据上面探索得到的规律，在所得到的范围内，对长方体高的间隔缩小，求出高更精确的范围。

⑤对个别学生可以要求他们作出关于高的理论数值的猜想（等于20/6cm），并尝试验证自己的猜想。

4.问题的拓广：

①如果原正方形的边长为acm呢？制作无盖长方体时，高的值是多少时，它的容积最大呢？（a/6cm）

②如果在剪裁的时候不浪费材料，将它们拼接起来制作长方体（见图1和图2），比较三种情况下得到的容积。（图2最大，750cm。）

③如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作（见图3）？

活动结果：

1.引导学生反思自己的活动过程，以积累数学活动经验。

2.课后作业让学生撰写一份活动报告。学生可根据实际情况，做到哪一步就写到哪一步，因为在初始阶段，学生做不了这么完善的课题活动，教师要从多方引导。随着数学活动的不断开展，学生的能力会逐步提升，会逐步适应这样的动手活动。

活动亮点：

在学生的活动过程中，学生一开始就动手剪拼出了几种不同的无盖长方体，但是哪一种无盖长方体的体积更大呢？此时大部分学生都想到了联系数学当中的体积运算来比较体积的大小，却有两个学生跑来告诉笔者，他们利用长方体所装沙子的多少来互相比较谁做的无盖长方体的体积更大，这让笔者十分惊讶，教了许多年的书，已经形成了思维定势，只想到通过运算去比较大小，没有想到在生活中有更加直接、更加简便的方式去验证两个物体体积的大小，因而感到很惭愧。

在问题拓广的第一个问题中求的是一个三次函数的最值问题，笔者原以为学生无法得到正确答案，但是在交上来的活动报告中笔者看到，通过学生的动手实践，学生学会了从不同的角度思考问题，不仅有许多学生猜测到了结果，甚至有个别的学生通过自己的动手实践寻找规律推导出了这个结果。有以下三种不同的方法：

①随着剪掉的小正方形的边长（即无盖长方体的高）发生变化，体积随之变化。在其中寻找体积最大时高的大小：

②随着原正方形的边长变化，当体积最大时高分别为多少，从而寻找出规律：

③从已知的正方形与高之间的关系直接猜想出边长为何时的高值：

2020/6=10/3 aa/6

活动反思：

本活动的设计能为学生获得更多的数学活动经验，提供广阔的探索空间。通过这一数学活动的开展，对学生的动手能力进行了培养，学生学习的经验不再只是解题经验，数学活动经验得到了扩充。学生在动手操作的过程中，不仅解决了数学问题，同时也开拓了思路，锻炼了思维能力，增强了数学理解能力，知道了利用试验操作来寻找事物的规律，寻找问题的答案，让笔者看到了预料之中的结果，也得到了预料之外的成果。