构造线性方程组解数学问题

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江苏泰州中学附属中学225300

摘要：本文通过构造三阶行列式，应用“三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零”的定理，对部分代数、几何、三角问题进行巧思妙解.

关键词：构造；三元齐次线性方程组；行列式

1. 解对数问题

例1已知 log=a，log=b，log=c，求证：3a（1+b）=2c+bc－abc.

证明因为log=a，

所以由对数换底公式得=a，

所以lg2=alg15=a（lg5+lg3），

所以alg5+alg3－lg2=0，①

同理可得 lg5－blg3－blg2=0，②

clg5+2clg3－3lg2=0. ③

将①②③联立，可知x=lg5，y=lg3，z=lg2是三元齐次线性方程组

因此，系数行列式

D=aa－1

2. 解数列问题

题2等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，求S3m .

解析由等差数列知识，可设前n项和为 Sn=an2+bn（n∈N）

所以Sm=am2+bm，S2m=4am2+2bm，S3m=9am2+3bm，考察以a，b，－1为未知数的方程组m2a+mb－Sm=0，

4m2a+2mb－S2m=0，

9m2a+3mb－S3m=0.

由于该齐次线性方程组有非零解，因此其系数行列式为0，于是

所以S3m=3（S2m－Sm）=3（100－30）=210.

3. 解几何问题

例3已知锐角三角形ABC内接于单位圆O，圆心O到ABC三边的距离分别为Ha，Hb，Hc . 证明：H+H+H+2HaHbHc= 1.

[Hb][B1][C][Ha][O][Hc][B][A1][C1][A]

图1

证明如图1，延长半径AO，BO，CO分别交圆O于A1，B1，C1，则BA1=2sinα1，CA1=2sinα2，CB1=2sinβ1，AB1=2sinβ2，AC1=2sinγ1，BC1=2sinγ. Ha=sinβ=sinγ，Hb=sinγ1=sinα2，Hc=sinα1=sinβ2 . 从凸四边形ABA1C，ABCB1，AC1BC中应用Ptolemy定理，可得2a=BA1・b+CA1・c=2bsinα1+2csinα2，2b=2asinβ2+2csinβ1，2c=2asinγ1+2bsinγ2. 把a，b，c看成未知数，得线性方程组a－sinα1・b－sin

sinγ1・a+sinγ2・b－c=0. 该方程组显然有非零解，从而有1－sin

sinγ1sinγ2 －1=0，展开得sinα1sinβ1sinγ1+sinα2sinβ2sinγ2+sinα1sinβ2+sinβ1sinγ2+sinγ1sinα2=1，用Ha，Hb，Hc代入，即得H+H+H+2HaHbHc=1.

4. 解三角问题

例4若a=b・cosC+c・cosB，

b=a・cosC+c・cosA，

c=a・cosB+b・cosA（a，b，c不同时为0），求证：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1

证明将已知三个等式变形为

a－b・cosC－c・cosB=0，

－a・cosC+b－c・cosA=0，

－a・cosB－b・cosA+c=0，

则由方程根的定义可知：a，b，c（不同时为0）是三元齐次线性方程组

x－y・cosC－z・cosB=0，

－x・cosC+y－z・cosA=0，

－x・cosB－y・cosA+z=0 的一组非零的解，于是有

D=1 －cosC－cosB

－cosC 1－cosA

－cosB-cosA 1=0，展开即得cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.

综上所述，应用上述定理解题时，其关键在于：首先根据题意列出关于三个未知数的三元一次线性方程组，然后根据方程组有非零解，列出三阶行列式，最后展开行列式求得结果. 此法新颖别致，富有规律，值得介绍.

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