探究后的再思考

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苏科版《数学》九年级（上册）第26页有这样一道习题：

在正方形ABCD中:

（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，且AEBF，垂足为M.求证：AE=BF.

（2） 如图2，点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GEBF，垂足为M，那么GE、BF相等吗？证明你的结论.

（3）如图3，点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GEHF，垂足为M，那么GE、HF相等吗？证明你的结论.

探究第（1）题要证明AE与BF相等，也就是要证明图形中的ABE与BCF全等.显然，根据条件，我们可以得到∠BAE=∠CBF、AB=BC、∠ABE=∠BCF=90°，因而，问题得到解答.

第（2）题要我们探索GE、BF是否相等，而点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GEBF，将线段GE沿着DA向点A平移，即可得图1.我们可以过点A作AP∥GE，交BC、BF分别于点P、Q，如图4,从而使问题转化为如图1所示的情况.

第（3）题，问题条件更具一般化，如果使线段GE沿着DA向点A平移、线段HF沿着AB向点B平移，即可得图1，那么我们可以过点A作AP∥GE，分别交BC、HF于点P、Q，过点B作BN∥HF，分别交CD、GE于点N、O，AP、BN交于点I，如图5，从而使问题得到转化.

思考1本题体现了特殊与一般之间的关系，强调了转化和运动的数学思想的应用.解答数学问题时，我们要善于将特殊问题一般化，善于用运动变化的思想方法思考静态的图形问题，善于从静态的图形中思考运动状态下的一般特征.

思考2上面的3个小题都是正方形条件下的两互相垂直线段的数量关系，那么，在矩形条件下，具备这样条件的两线段又有怎样的关系呢？如图6，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E、F、G、H分别在AD、BC、AB、CD上，且EFGH，求的值.

解答作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，则

AM=EF，DN=GH.

EFGH， AMDN，

∠AMB=90°-∠BAM=∠AND.

又∠ABM=∠DAN=90°，

ABM∽DAN，

==，

=.

思考3如果这个图形是菱形，那么具备这样条件的两线段又有怎样的关系呢？如图7，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GEHF，垂足为M，AC=a，BD=b，那么的值与相等吗？

这个问题也就是要说明与是否相等，如图8，我们可以过点O作MN∥EG，交BC于M，交AD于N，作PQ∥FH，交AB于Q、交CD于P，则有PQ=HF，MN=EG.因为∠AON=∠COM，AO=CO，∠OAN=∠OCM，所以AON≌COM，则ON=OM，同理可证得OQ=OP，即点O分别为AC、BD、MN、PQ的中点.因此，这个问题就转化为证明与是否相等.然而通常情况下，在菱形中，∠OAN与∠OBQ不相等，故 AON与BOQ不相似，因而＝不成立，则＝不成立，因此，的值与不相等.