排列与组合应用题教学六法

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在考试中， 排列与组合部分的试题主要是应用问题.一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的.抓住典型问题，领会排列与组合的应用问题的基本结构、基本要求、基本思路、基本步骤，从而掌握多种解题的思维方法，不断归纳总结解题规律是十分必要和有效的.下面介绍几种常见的解题方法：

一、直接法

依据两个基本原理以及排列、组合的有关概念，直接列式计算而得到其方法种数的方法称为直接法.

例1：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，共有多少种不同的选法？

解：这是组合问题，分三步完成：

第一步，从10人中选出2人承担甲项任务，共有 种方法；

第二步，从剩下8人中选1人承担乙项任务，共有 种方法；

第三步，从另外7人中选1人承担丙项任务，共有 种方法.

因此，不同的选法种数共有C210·C18·C17 =2 520种.

【说明】用直接法解题时，捕捉信息，分清排列问题还是组合问题，进行分类或分步是解题的关键.

二、间接法（排除法）

在求解附加有限制条件的排列、组合问题时，可首先求出不含有其附加条件的排列、组合数，再减去其中不符合附加限制条件的排列、组合数的方法称为间接法（排除法）.

例2：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，至少有1名女生当选，共有多少种不同的选法？

解：从10名学生中任选2名当代表有C210 种选法，其中不符合要求的有：两人都是男生的选法有C27种选法，因此，符合条件的选法有C210-C27=24 种.

【说明】本例是带有附加条件的组合问题，这里“至少有1名女生当选”，即为附加条件.先求出所有的组合数，再减去不符合条件的选法.

三、捆绑法

在研究某些排列、组合问题时，某些元素必须在一起，处理时把它们并成1组，或者作为一个整体，与其他元素进行排列、组合，然后再考虑该整体内部的排列、组合问题.这种方法叫捆绑法.

例3：有7个人排成一排照相，甲、乙两人必须相邻的排法有多少种？

解：本例是排列问题，可分为两个步骤：

第一步，将甲、乙两人当作1个（保证他们相邻），6个人的全排列数为A66；

第二步，甲、乙两人的位置可以交换，排列数为A22；

因此，甲、乙两人必须相邻的排法种数为A66 ·A22=1 440种.

四、插空法

在研究不相邻的排列问题时，可先安排无条件限制的元素，然后把要求不相邻的元素根据题设安插在上述元素的空位当中，必要时包括前后两端的空位，这种解题方法称插空法.

例4：由数字1、2、3、4、5组成的没有重复的数字，且数字1与2不相邻的5位数，那么这种5位数共有多少个？

解：本例是排列问题，分两步完成：

第一步，先让3、4、5这3个数作全排列，有A33种选法.排好后出现4个空位，如下图：

第二步，从这4个空位中任取两个让1、2去站位，则数字1与2均不相邻共有站法种数为A24 ，根据分步计数原理，这种5位数共有A33·A24=72个.

五、先选后排法

对于排列、组合的混合应用题，往往可以采用先选出来，然后再按要求进行排列的方法，这种方法称为先选后排法.

例5：从5男4女中，选出3男2女共5个人，分别参加5种不同的工作，有多少种不同的选法？

解：这是一个排列、组合的混合应用题，分两步完成：

第一步（先选），从5男4女中选出3男2女5个人，共有C35 ·C24种选法.

第二步（后排），选出的5个人分别参加5种不同的工作，有A55种选法.

依据分步计数原理，不同的选法共有（C35 ·C24）·A55=7 200种.

【说明】用先选后排法解排列、组合的混合应用题，关键是如何先选，也就是把元素分成怎样的组合，要选得合理，解法才会正确.

六、特殊优先法

对于一些带有附加条件的排列、组合应用问题，往往优先考虑受条件限制的某些特殊元素或特殊位置，然后再考虑剩下的元素或位置的方法称为特殊优先法.

例6：用数字0、1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的6位奇数？

解：本例是一个带有特殊条件的排列问题，先排含特殊条件的数字，共分3步完成：

第一步（特殊优先），个位数可从1、3、5这3个奇数中任选1个，有A13种选法；

第二步（特殊优先），由于0不能是10万位数字，所以从剩余的2个奇数与2、4共4个数字中任选1个作为10万位数字，有A14种选法；

第三步，再把剩余的3个数字与0共4个数字，在万位数至10位数的4个位置上进行全排列，有A44种选法；

依据分步计数原理，共有A13·A14·A44=288种选法.

总之，要解排列、组合的应用问题，首先要领会应用问题的基本结构、基本要求、基本思路、基本步骤，分清是排列问题还是组合问题、分类还是分步，从中挖掘出解题的途径和思维方法，不断归纳总结解题规律，从而达到最佳的解题效果.