最小公倍数解决大难题

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在运用“最小公倍数”解决实际问题时，这类题中往往没有直接指明是求最小公倍数，而是要通过对已知条件和问题全面的分析后，才能发现它们之间的数量关系的实质，进而找到解决问题的途径。

例1.分组算人数

某班学生人数在40～50之间，如果分成8人一个小组，那么有一个小组多5人；如果分成12人一个小组，那么有3个小组各少1人，求这个班的学生人数。

解析

由“如果分成8人一个小组，那么有一个小组多5人”可知，要再组成一个小组则少3人。由“如果分成12人一个小组，那么有3个小组各少1人”可知，要分成12人一个小组，一共少3人。可见，如果增加3人，这个班的学生人数既是8的倍数又是12的倍数。也就是说，这个班增加3人后，学生人数是8和12的公倍数。根据8和12的最小公倍数是24及这个班的学生人数在40～50人之间可知，增加3人后，这个班有24×2=48（人），所以实际上这个班的学生人数是48-3=45（人）。

例2.汽车发车问题

公园广场是2路和3路公交车的起点站，2路公交车每8分钟发车一次，3路公交车每10分钟发车一次。若这两路公交车同时发车以后，至少再过多少分钟后又同时发车？

解析

根据题意可知，2路和3路公交车从同时发车到再同时发车，所经过的时间既是8的倍数又是10的倍数。因为要求至少再经过多少分钟又同时发车，所以这道题就是求8和10的最小公倍数。8和10的最小公倍数是40，所以两路公交车同时发车以后，至少再过40分钟又同时发车。

例3.木料堆积问题

用长72厘米、宽60厘米、高36厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要多少块这种长方体木块？

解析

用长方体木块叠成一个正方体后，这个正方体的棱长是原来长方体木块长、宽、高的公倍数。要求叠成一个最小的正方体，求最小正方体的棱长就是求长方体木块长、宽、高的最小公倍数。72、60和36的最小公倍数是360，即正方体的棱长是360厘米，则长边叠的块数是360÷72=5（块），宽边叠的块数是360÷60=6（块），高边叠的块数是360÷36=10（块），最后求得至少需要这种长方体木块是5×6×10=300（块）。

小试牛刀

一种长方形地板的长是56厘米，宽是16厘米。若用这种地板铺成一个正方形，至少要用多少块这样的地板？

薯条们，应用最小公倍数知识来解决实际问题还很多，解答此类题目的关键是从倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公倍数。如果题中有“最少”、 “最小”、 “至少”等限制词，这时一般可考虑用求最小公倍数的方法解答。