集合函数高考大猜想

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集合与函数内容为历年必考内容之一，集合主要考查对基本概念的认识和理解以及如何用集合语言表达数学问题，怎样用集合观点研究和解决数学问题；函数主要研究基本概念、性质以及几个基本初等函数，对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题会直接考查函数某一方面的性质外，大部分题目是对函数的综合考查（所占比例比较大，综合程度比较高），其中包括函数内部知识的综合以及函数同方程、不等式、导数、数列等知识的综合．

考点猜想

1. 集合与集合之间的关系

有关集合的高考试题重点考查集合与集合之间的关系. 在解决这类问题时，要注意利用几何的直观性、特殊值及文氏图解题，平时应加强集合表示方法的转换和化简的训练.

模拟题1集合P=｛1，4，9，16，…， n2，…｝，若对于运算“∗”：“若a∈P，b∈P，则a∗b∈P”，则运算“∗”可以是（）

A． 加法 B． 减法

C． 除法 D． 乘法

简析由任意两个平方数的积仍是一个数的平方，可得运算“∗”对于乘法是封闭的，故选D.

点评本题考查了新定义的数与数的封闭性运算及集合中元素的特征与性质. 抓住集合中元素的特征进行分析可得结论.

同类题1已知全集I＝R，集合A=｛x

y=｝，集合B=｛x

A. ［1，+∞） B.（1，+∞）

C. ［0，+∞） D.（0，+∞）

2. 充要条件、命题真伪的判定

有关“充要条件”“命题真伪”的试题主要要求对数学概念有准确的记忆和深层次的理解. 试题以选择、填空题为主，难度不大，要求对基本知识、基本题型及求解方法熟练掌握.

模拟题2若集合A=｛1，m2｝，B=｛2，4｝，则“m=2”是“A∩B=｛4｝”的（）

A． 充分不必要条件

B． 必要不充分条件

C． 充要条件

D． 既不充分也不必要条件

简析若m=2，则A∩B=｛1，4｝∩｛2，4｝=｛4｝；反之若A∩B=｛4｝，则m2=4，解得m=±2. 所以“m=2”是“A∩B=｛4｝”的充分不必要条件. 故选A.

点评本题考查了集合的交集运算及对充要条件的判断，体现了简易逻辑的逻辑推理与代数论证的考查作用.

同类题2有限集合S中元素的个数记作card（S）. 设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）；②A⊆B的必要条件是card（A）≤card（B）；③A⊈B的充分条件是card（A）≤card（B）；④A=B的充要条件是card（A）=card（B）. 其中真命题的序号是（）

A． ③④ B． ①②

C． ①④ D． ②③

3. 集合与指数、对数函数综合

对指数函数与对数函数的试题，大多以基本函数的性质为依托，并结合运算推理来解决.

模拟题3不等式3x－5

简析由

3x－5

点评解指数不等式时，要注意对应的指数函数的单调性. 与指数函数和对数函数有关的试题，要求同学们能运用性质熟练地进行大小的比较、方程的求解等；会利用基本的指数函数或对数函数的性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质；要熟练掌握指数、对数运算法则；能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

同类题3若函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，则实数a=___．

4. 函数的单调性和奇偶性

针对函数的单调性和奇偶性，前些年大多数试题考查具体函数，近几年却有向抽象函数发展的趋势，此外试题还注重对转化思想的考查.

模拟题4定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［-1，0］上是增函数. 下面是关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在［0，1］上是增函数；④f（2）=f（0）. 其中正确的判断是__________（把你认为正确的判断都填上）.

简析由f（x+1）=－f（x），可得f（x+2）=－f（x+1）=－［－f（x）］=f（x），所以f（x）是周期函数，并且2是它的一个周期，所以f（2）=f（0）. 又因f（x）为偶函数， 所以f（－x）=f（x）=f（x+2），即f（x）的图象关于直线x=1对称. 因为f（x）为偶函数，且在［-1，0］上是增函数，所以f（x）在［0，1］上是减函数. 故应填①②④.

点评本题以开放题的形式呈现，全面考查了抽象函数的周期性、奇偶性、单调性、函数图象的对称性等性质.

同类题4有下列四个命题：①若函数f（x）满足f（x-a）=f（a-x），则函数f（x）的图象关于y轴对称；②若函数f（x）满足f（x-a）=f（a-x），则函数f（x）的图象关于直线x=a对称；③函数y=f（x-a）与y= f（a-x）的图象关于y轴对称；④函数y= f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称. 其中正确的命题是_______.

5. 函数与方程思想

利用函数与方程思想，并结合导数研究函数的解析式及参数问题是高考的一个重点的考查方向.

模拟题5已知函数y=|x|+1，y=，y=

x+（x>0）的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0

（Ⅰ）求证：a2=2b+3.

（Ⅱ）设（x1，M），（x2，N）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点． （i）若

x1－x2

=，求函数f（x）的解析式；（ii）求

M－N

的取值范围．

简析（Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，，.由f（1）=0得c=－a－b－1. 于是f（x）=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx－（a+b+1）=（x－1）［x2+（a+1）x+（a+b+1）］.

故x2+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是，． 于是+= －（a+1），・=a+b+1，则（+）2=（a+1）2，即2+2（a+b+1）=（a+1）2. 最后化简得a2=2b+3．

（Ⅱ）（i）依题意x1，x2是方程f ′（x）=3x2+2ax+b=0的根，故有x1+x2=－，x1x2=. 由Δ=（2a）2－12b>0，解得b

x1－x2

====，解得b=2，a2=2b+3=7．

由（Ⅰ）知+=－（a+1）>0，故a

由（Ⅰ）知（a+1）2=（+）2=2+2. 因0

又a

M－N

点评本题考查了在函数与方程思想的背景下，以导数为工具研究函数的解析式，并运用分类讨论法求解字母参数问题，进而考查了同学们分析问题与解决问题的能力.

同类题5已知函数f（x）=x3－ax2－3x． 若x=－是f（x）的极值点，求f（x）在［1，a］上的最小值．