根与系数关系作用大
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在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若两根为x1、x2，则x1+x2=-■，x1·x2=■，根与系数的这种关系又称为韦达定理. 它的逆定理同样成立，即当x1+x2=-■，x1·x2=■时，那么x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根?郾
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛?郾
一、确定符合条件的方程 ■
例1 （2012年烟台卷）下列一元二次方程两实数根的和为-4的是（ ）?郾
A?郾 x2+2x-4=0 B?郾 x2-4x+4=0
C?郾 x2+4x+10=0 D?郾 x2+4x-5=0
解：对于选项A：x2+2x-4=0，x1+x2=-■=-2，不符合题意；
对于选项B：x2-4x+4=0，x1+x2=-■=4，不符合题意；
对于选项C：x2+4x+10=0，x1+x2=-4，Δ=b2-4ac=16-40=-28＜0，即原方程无解，不符合题意；
排除了A、B、C，选D?郾
我们可验证，x2+4x-5=0，b2-4ac=16+20=36＞0，x1+x2=-■=-4，选项D符合题意?郾
温馨小提示：先用根与系数的关系排除一些选项，再用判别式对符合根与系数关系的选项验证，是快速解这类题的关键?郾
二、确定一元二次方程字母系数的值 ■
例2 （2012年株洲卷）已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为（ ）?郾
A?郾 b=-1，c=2 B?郾 b=1，c=-2
C?郾 b=1，c=2?摇 D?郾 b=-1，c=-2
分析：由于一元二次方程的两根已知，要求方程中的字母系数，可逆用一元二次方程的根与系数关系求得?郾
解：因为一元二次方程的两个根为x1=1，x2=-2，
所以x1+x2=-1，x1·x2=-2，
所以-b=-（-1），c=-2，即b=-1，c=-2?郾
选D?郾
温馨小提示：本题容易错选B，原因是没有理解一元二次方程的根与系数之间的符号关系?郾
三、求与两根相关的代数式的值 ■
例3 （2012年南通卷）设α、β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，则α2+4α+β的值为 ?郾
解：因为α，β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，
所以α+β=-3，α2+3α=7?郾
两式相加得α2+4α+β=7-3=4?郾
温馨小提示：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、方程解的定义以及代数式的求值，利用解的定义找一个关于α的相等关系，再根据根与系数的关系求出α+β的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入计算即可?郾
四、已知方程一根，求另一根 ■
例4 （2010年铜仁卷）已知x=0是方程x2+2x+a=0的一个根，则方程的另一个根为（ ）?郾
A?郾 -1?摇 B?郾 1?摇 C?郾 -2 D?郾 2
分析：设方程另一根为x1. 由根与系数的关系，得x1+0=-2，解得x1=-2?郾 选C?郾
温馨小提示：解这类题一般有两种方法?郾 一是把已知根代入方程，求出字母系数的值，再解方程求出另一根；二是由根与系数的关系（利用两根的和或积的关系式），直接求出另一根?郾
五、确定代数式的最值 ■
例5 （2012年乐山卷）已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根?郾
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，求代数式x1·x2-x21-x22的最大值?郾
分析：（1）将原方程化为一般形式，由于方程有实数根，故根的判别式大于0，据此列不等式?郾 （2）将x1·x2-x21-x22化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入求值?郾
解：（1）由（x-m）2+6x=4m-3，得
x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0.
Δ=b2-4ac=（6-2m）2-4×1×（m2-4m+3）=-8m+24，
因为方程有实数根，所以-8m+24≥0，
解得m≤3.
所以m的取值范围是m≤3?郾
（2）由根与系数的关系，得
x1+x2=2m-6，x1·x2=m2-4m+3.
所以x1·x2-x21-x22=3x1·x2-（x1+x2）2
=3（m2-4m+3）-（2m-6）2
=-m2+12m-27
=-（m-6）2+9?郾
因为m≤3，当m＜6时，-（m-6）2+9的值随m的增大而增大，
所以当m=3时，x1·x2-x21-x22的值最大，最大值为-（3-6）2+9=0，
所以x1·x2-x21-x22的最大值是0?郾
温馨小提示：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、二次函数的最值，综合性较强，有利于提高我们对知识的综合应用能力及推理能力?郾 ■