不等式a2+b2≥2ab的证明

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在常规的数学教学中，对不等式a2+b2≥2ab的证明，一般来说都是采用公式推导的方法。这种方法具有一定的抽象性，使得学生的学习缺乏直观感，对不等式的本质意义理解不到位。如果我们在此不等式的证明教学过程当中，采用Flas来辅助证明，教学效果将得到明显提高。课件播放界面如上图所示。（需要课件源程序者可联系作者，邮箱是：。）

课件功能

通过选择播放、暂停按钮可以动态显示三角形BEG、BCD及矩形EBCF的面积关系，从而证明不等式a2+b2≥2ab。

使用方法

课件使用非常简单，初始状态为暂停播放，用户只需单击播放按钮即可观看效果，并可以通过暂停按钮在动画播放的任意位置暂停。

设计思路

1.我们想通过一种直观的方式使学生掌握不等式a2+b2≥2ab。于是，我们试图把该问题的证明转化到图形面积大小的问题上，因为，图形面积的大小是我们用眼睛能直接观察到的。把不等式a2+b2≥2ab的左右两边都转化成能表示一个图形的面积形式，在不等式的两边同时除以2，得到的不等式为（a2/2）+（b2/2）≥ab。此时不等式a2+b2≥2ab的证明就等价于不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab的证明，而不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab的左边正好是两个等腰直角三角形的面积之和，两个等腰直角三角形的直角边长分别是a和b，不等式右边是一个长和宽分别为a和b的矩形的面积。此时，我们已经把该问题的证明转化到了面积大小对比的观察上。

2.有了上面一步的分析之后，我们现在的问题是怎样把不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab左右两边（左边的两个直角三角形、右边的矩形）同时放到一个图形中去，让学生一眼就看出不等式是成立的（如图所示）。

3.证明（a2/2）+（b2/2）≥ab：ABCD是一个边长为a的正方形，EF交BD于G点，要证明（a2/2）+（b2/2）≥ab，我们只要证明图中三角形BEG的面积（b2/2）+三角形BCD的面积(a2/2)≥矩形EBCF的面积（ab），而这是显而易见的。从动画中我们可以看到b的值可以在从0到a的范围内变化，（a2/2）+（b2/2）的面积比ab大的部分刚好是三角形DFG，当b=a时，即EF与AD重合时，三角形DFG的面积等于0，于是，不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab就得到了证明。

技术实现

1.我们采用Flash 8来实现该动画，主要用到关键帧动画、变形动画、Flash脚本语句、遮罩等技术，其中的关键技术是遮罩的运用。

2.制作中用到两个简单的脚本语句：

播放按钮：on(release){play();}

暂停按钮：on(release){stop();}

3.在动画的运行过程中，我们要注意体现出不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab中b这一变量的变化，上图中标有b的这条线段的长度要能够随BE变化而变化。为了便于形象的观察，我们让b字母保持在这条线段的中部，EF是另外的一条单独线段，要使它从AD运动到BC，并使之与遮罩运动的速度一致，它与BD的交点G也必须是动态的。