在图形翻滚中体验数学的动感魅力

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“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题的能力，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力.新课程标准对学生操作能力的培养提出了明确的要求，因此考查学生动手意识和能力的中考题层出不穷.有关图形翻滚的试题既考查了学生的操作能力和空间想象能力，又着重考查了学生运用图形变换以及圆的有关计算等知识解决实际问题的能力，因而成为中考试卷中的常客.让我们一起来欣赏下列各题中优美的弧线，共同领略数学的魅力！

一、正方形翻滚

例1如图1，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为.

解析当正方形向右翻滚时，其右下角的顶点便是旋转中心，每次旋转的旋转角均为90°.因而点O也随之绕旋转中心，按顺时针方向旋转90°，经过多次旋转形成了一条条优美的弧线.显然，图中四条弧线为等弧，算出其中一条弧长，问题便迎刃而解.正方形ABCD边长为a，故对角线AC=2a，从而圆弧半径为2112a，所以正方形的中心O所经过的路径长为

4×90π・2112a11180=2πa.

例2.如图2，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=__________.赏析：这里将正方形翻滚与点的坐标结合起来，考查学生的探究能力.要求学生在图形翻滚中考察一个点的位置变化，从而探究其坐标的变化规律.观察前面几个点的坐标P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，0），P5（5，1），发现点P4与点P都在正方形左上角，P5与P1也处于正方形同样的位置，即右上角；可见4次翻滚为1个循环，且P1与P5的横坐标都与翻滚次数相同；从P1到P2006可视为501次完整翻滚后，余1次；P2005的横坐标为2005，最后再翻滚1次，相当于P1到P2的翻滚，横坐标又增加1，所以x2006=2006.二、矩形翻滚

例2已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图2放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转到一周时（AA′），顶点A所经过的路线长等于.

解析矩形的翻滚与正方形翻滚一样，前3次向右翻滚，点A的路径都是一条以右下角的顶点为圆心，且圆心角为90°的弧，半径依次为矩形的长4，对角线5，宽3；而最后一次翻滚，旋转中心就是点A，故点A没有运动.所以顶点A所经过的路线长90π・411180+90π・511180+90π・311180=6π.

变式如图3，王虎将一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）.木板上点A位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为

A.10 cmB.4 cm C.7112π cmD.5112 cm

解析这里进行了两次翻滚，但第二次翻滚由于小木块的阻挡，只旋转了60°.AA1的路径是以B为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；A1A2的路径是以C为圆心，CA1为半径，圆心角为60°的弧.利用弧长公式可求出两弧的长，结果选C.

三、三角形翻滚

例4如图4，在一个横截面为RtABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米.工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）.（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）.

解析由于∠C=90°，∠CAB=30°，BC=1米，故AB=2BC=2米，AC=3米.三角形先翻滚，后平移，A点所经过的路径如图5所示，AA1的路径是以B为圆心，BA为半径，圆心角为120°的弧，算得弧长为4113π；A1A2的路径是线段A1A2，其长度为平移距离3米.所以在搬动此物的整个过程A点所经过的路径的长度为

4113π+3≈5.9（米）.

四、圆的翻滚

例4（1）如图6，把O放在一条长度等于其周长的线段上，从一个端点无滑动地滚动到另一个端点，O将转动周；（2）如图7，若O放在边长等于其周长的正ABC上，沿着ABCA的线路无滑动地滚动一周回到原来的位置，则O将转动几周？说明理由.

解析（1）由于线段AB的长度等于O的周长，故O从点A无滑动地滚动到点B将转动一周；（2）O在ABC三边上各滚动一周，所以有同学认为答案是3周.事实上，O从与AC相切于点A，滚动到与AB相切于点A，转过120°，则在三个顶点处共转过360°，即1周，因而O共转动了4周. 例6.我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动，又以车轴为圆心作圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线.其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线.你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线.定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点.（如图9）：现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列（如图10），如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币作无滑动的滚动，那么（1）右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向上还是向下？（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？A.一条围绕于硬币的封闭曲线；向下；1圈B.一条摆线；向上；1圈C.一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈D.一条摆线；向下；2圈赏析：摆线的前提条件是圆在直线上滚动，而这里是一个圆绕着另一个圆作无滑动的滚动，所以点A的运动轨迹不是摆线，只能在A、C中选；动手做一做，你会发现当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案是向上.你或许会纳闷，此时硬币才转了一半啊！图案怎么不是朝下呢？试想一下，假如左侧是一个三角形，其周长等于圆周长，则根据例5的经验，右侧的圆在三角形每条边上转动 周，三条边上共转动1周，而在三个顶点处又总共转动1周，所以当圆转回原地时，它自身转动了2圈；而这里左边是圆，它也是一个封闭图形，可视为把三角形拉成一个等周长的圆，则三个顶点处的转动便分散到圆周上的每个点，所以当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了2圈；而当右侧硬币转到左侧时，右侧硬币其实自身不是转动半圈，而是转动了1圈，因而图案朝上，所以本题选C.可见，当一个圆在另一个封闭图形上无滑动地滚动时，若该封闭图形的周长是圆周长的n倍，则圆自身转动（n+1）周.