几位前辈学者对平面几何的看法

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在《数学通报》2010年第9期惠昌常教授所写“同调代数与平面几何”一文的“编者按”中，谈到平面几何是否从中学课程“淡出”的问题.我对我国现在的中学情况不了解，没有发言权.以下只摘引几位前辈学者的看法，供读者参考.

[一]傅种孙教授（我的老师）与钱学森院士的看法：钱学森院士深刻而渊博的航天科学知识技能，主要是在美国打下基础，然后在国内大规模发展的.他在美国学习时的导师冯·卡门（von Karmann）称赞他的科学基础好.而钱学森院士则认为他主要是在国内北京师范大学附属第一中学高中部学数学课时从傅种孙老师那里学会了严密的数学方法.[注：傅老师当时是北师大数学教授，在师大附中兼教几何课].傅老师是怎样讲几何课的呢？据钱老回忆，有如下一段话：（傅）“有了公理之后，定理是根据公理逻辑推断的必然结果.只要承认了公理，根据公理推出的定理只能有一个，没有第二个.[注：这里的‘只能有一个’，不是说由公理只能推出一个定理；是说推出的每个定理其结论是唯一的.不会是模棱两可].不但在附中的教室里是如此，在全中国也是如此；不但在全中国如此；在全世界也是如此；就是到了火星上，也还是如此.”[见《钱学森》（祁淑英与魏根发合著，花山文艺出版社，1997）第14—15页].此书是两位著者在访问钱老之后写的.书中紧接着写道，钱教授深有感触地说：“听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了甚么是严谨科学.”

关于傅种孙老师的教学.以下再作一点补充：在傅老师的早期学生魏庚人教授所著《中国中学数学教育史》（人民教育出版社，1987）第274—275页所引傅老师在其《高中平面几何教科书》（北师大附中算学丛刻社，1933）的自序中，他说：“几何所追求的不是要知道它如此，而是要知道它为什么如此；不仅要知道它为什么如此，还得要领会从什么思路知道它所以如此.读了定理的条文就知道它说的是什么，经过证明才明白它所以如此.假若这些所谓证明只能口头传授而不能心有领会，那么这流传2千年，用遍5大洲的13章《几何原本》只能是教员专利的秘方而已，还有什么价值可言！”[注：傅老师在这里强调的是：学数学不但要学懂数学定理的证明，还要知道这个证明是怎样得到的.这就是方法论性质的问题了.由此可见，傅老师对于数学定理的证明，对己对人的要求是高于一般人的.一般学生都是要求自己能看懂证明就行了，很少人想到要知道“是怎么找到证明的”？但是，你若做到了这样对自己的高要求，你就能更顺利地去解决新问题，证明新定理，能给数学增添新内容了].[注：关于傅老师的生平，可参看《中国现代数学家传》第一卷（江苏教育出版社，1994）中的“傅种孙传”.科学出版社也即将出版新的“傅种孙传”].

[二]已病逝的著名经济学家陶大镛教授曾对我说过：“数学对研究社会科学很重要，对研究经济学尤其重要！你看得诺贝尔奖的经济学家都同时也是数学家.而学数学主要是学严密的逻辑思维.这方面最好的就是学平面几何.”

[三]由平面几何发展出两中非欧几何.而爱因斯坦（A.Einstein）的相对论就用到非欧几何.

[四]王树茗先生对我说过，他最初是考进北师大中文系.著名文艺理论家李长之教授见他数学考分很高，就建议他先读数学系受逻辑思维训练；因为研究文艺理论也需要严密的逻辑思维.（王树茗是北京101中学的特级教师，曾参加把傅老师的《高中平面几何》译为白话文.）

[五]古希腊著名哲学家柏拉图（Plato）在他的“学园”门上挂一块牌子“不懂几何者请勿入内”.我对此的理解是：学几何可以受到严密的逻辑思维训练.他不愿与思维不合逻辑的人谈话.

[六]机器证明是用电子计算机证明数学定理.我国数学家吴文俊院士提出了用电子计算机判断平面几何与射影几何命题是否为真的“吴方法”；另外，我国数学家张景中院士提出了用电子计算机证明平面几何定理的方法.他的方法不但可以断定平面几何命题的真假，并且对于真命题还可给出其证明.如果他们未学过平面几何，这些就无从谈起了.