动量定理在微小过程中的应用例说

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摘要：物体受到的合力的冲量等于物体动量的变化，公式I= P. 是矢量方程. 物体做直线运动时，建立该方向的动量方程即可；物体做平面运动时，往往需建立两个相互垂直方向的动量定理方程才能求解. 使用动量求解冲击、打击、碰撞等微小过程中物体受到变力作用的问题时，有优越性，在这些微小过程中，由于物体受到冲击力作用，物体的运动状态发生突变，冲击力比物体受到的恒力如重力大得多，列动量定理方程时，可以将这些恒力忽略. 本文举例说明其应用。

关键词：动量定理；微小过程；应用；例题

中图分类号：G633.7 文献标识码：E 文章编号：1672-1578（2012）02-0257-02

例1、用光滑柔软的布做成的正方形卷轴窗帘的面积为α×α=1.5×1.5 m2，质量为 =2kg，将窗帘的最下边B 抬起与固定的上边缘A 对齐，使之对折起来，然后B 端由静止落下，如图（1）所示. 求出作用于屋檐板上的力F 随时间t 变化的函数关系。

解： 端脱落后下降时间为t ，在t 时间内B端的运动是自由落体运动，如图（2）所示， 在t 时间， B端下落的距离为：h=12gt2。

此时BC 部分速度为v=gt

设想从此时刻起，经t0 ，将有y=v2t 长度的窗帘速度由v 变为0，以该y 长度的窗帘作为研究对象，以竖直向上为正方向，如图（3）所示，根据动量定理，有：

(F-mg)t=P2-P1=0-(-mv)①

其中 m=may=ma12vt②

由于m0 ，忽略其重力，①式变为 Ft=m2av2t，

得F= mv22a

此时AC 段的长度 ，以AC=a2+h2 段为研究对象，如图（4）所示，根据平衡条件及牛顿第三定律得：

FA=F+mACg=m2av2+ma(a+h2)g

FA=m2a+2gh+12(1+ha)mg=mga12gt2+m2(1+12agt2)g

FA=12mg+34amg2t2=12×2×9.8+34×11.5×2×9.82t2=9.8+96t2

由于B 端下落到最低点的时间

t=2ag=2×1.59.8 s=0.55s.

屋檐板上的力FA随时间t 的函数关系为：

FA=9.8+96t219.6N 0≤t≤0.55st>0.55s

例2、一袋面粉沿着与水平面倾角α=600 的光滑斜板上，从高 处无初速度地滑下来，落到水平地板上，袋与地板之间摩擦系数μ =0.7，试问：

（1）面粉袋停在何处？

（2）如果H =2m， α=450,μ =0.5，袋又将停在何处？

解：该问题设计成一袋面粉从高处滑下，隐含了面粉袋从斜面冲向水平面时，虽然受到水平面的冲击力，面粉袋也不会跳起，它始终不会离开水平面. 本题中没有给面粉袋的长度，可不考虑其大小.

（1）面粉袋从高 处无初速滑下，到达水平面时速度为 ，根据机械能守恒定律有：

mgH=12mv2,v=2gH

将速度 分解成水平和竖直方向的分量vx,vy ， . 如图（5）所示.

vx=vcosα=1vvy=vsinα=32v

设经t ，竖直方向的分速度减为零，由于t 是一个微小量，此过程中可不计重力的冲量，根据动量定理有

Nt=0-(-mvy）=32mv ①

设此在t 时间内，水平面对面粉袋的摩擦力始终存在，在t 末时刻速度为v' ，以向左为正方向，列动量定理方程：

-f.t=mv'-mvx②

注意到 f=μN③

将①③式代入②式中得

v'=vx -μ32μv=-0.1v＜0