一道中考题的发散思考

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例（2006年广东省基础教育课程改革实验区初中毕业生学业考试10题）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）

思路和解答：由于小虫是在圆柱表面爬行，故要联想到圆柱的侧面展开图（图1），由于小虫到达圆柱的C点，即侧面展开图的C′点而两点之间线段最短，故为矩形ADC′B′的对角线AC′的长度.因为AB′=AA′=DD′=・2π・=2，AD=2，由勾股定理得AC′==2

变化1 把圆柱换成圆锥

如图2，已知圆锥底面半径为1，母线长为2若一只小虫从A点出发，绕圆锥的表面爬行到VB的中点C，求小虫爬行的最短距离

思路和解答：同上将圆锥沿母线VA展开成扇形VAA′，小虫爬行的最短距离为线段AC′的长，易得∠AVA′=180°，所以∠AVC′=90°由勾股定理得AC′==

变化2 把圆柱换成正方体

已知正方体ABCD-ABCD的边长为2，一只小虫从A点经过表面爬行到CC中点E，则小虫爬行的最短路线的长度是.

思路和解答：小虫从A到E的最短路线都要经过两个面.

（1）经过面ABCD和面BCCB时，将面BCCB以BC为折痕向右下方翻折90°得矩形AB1′C1′D（图3），小虫爬行的最短路线长为AE′，易得AE′=

（2）经过面ABCD和面CCDD时，如图4展开可得AE′=

（3）经过面ABBA和面BCCB时，如图5展开可得AE′==.

其最短距离为

变化3 把圆柱换成长方体

已知在长方体ABCD-ABCD中，AB=6，BC=4，AA=2，一只小虫从A点经过表面爬向CC中点E，则小虫爬行的最短路线的长度是

思路和解答：小虫由A点经表面爬向E点，有以下三种情况：

（1）经过面ABCD和面BCCB时，同上面正方体（图6）可得：AE′===

（2）经过面ABCD和面CCDD时（图7），同上正方体可得：AE′===

（3）经过面ABBA和面BCCB时（图8），同上可得：AE′===.

因为＞＞，

所以，小虫从A点经过面ABCD爬到面CCDD上的E点所走过的最短路线长是

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