第33讲 古典概型与几何概型
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考情分析
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到我们的日常生活中，成为一个常用的词汇.统计表明，各地高考试卷都有概率题，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
概率题量都保持着一小一大的格局，分值约在11分左右；通常设置在选填题的靠后位置上，一般为综合题.从考查内容上看，概率试题常以古典概型和几何概型两大题型出现，古典概型通常与计数、函数、向量相结合，几何概型通常与三角、解析几何、不等式中重要的易混淆的知识点相结合，以此为载体考查考生对概念的深层次理解.各地文、理科试卷在此部分差别较大，在古典概型中，文科以列举为主，几何概型中，更注重线性规划求面积.
命题特点
概率在近年高考命题中有以下特点：①文科大多是一个选择题、一个大题，以列举为主，考查学生思维的严谨性，考虑问题要做到不重不漏.②以函数与方程、三角函数、不等式、向量为内核，以概率为外在表现形式，这类题往往具有“稳中求新”“稳中求活”等特点.
纵观近两年高考试卷中的概率，精彩纷呈.在设问上“新而不难，活而不偏”，这有利于试卷保持较高的信度和效度，对中学教学中杜绝题海战术，重视理解、把握数学的本质的教育观念有较好的导向作用.
1. 古典概型
例1 连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为[m，n]，记向量[a=（m，n），b=（1，-1）]的夹角为[θ]，则[θ∈0，π2]的概率是 （ ）
A. [512] B. [12]
C. [712] D. [56]
解析 连续抛掷两次骰子基本事件总数是36，由[a，b]夹角[θ∈0，π2]，则[a?b≥0，m-n≥0，]所求事件包含的基本事件数为21，[P=712.]
答案 C
例2 已知函数[f（x）=6x-4]，[x=1，2，3，4]的值域为集合[A]，函数[g（x）=2x-1][（x=1，2，3，4）]的值域为集合[B]，任意[a∈A?B]，则[a∈A?B]的概率是_______.
解析 由题意知，[f（1）=2，f（2）=8，f（3）=14，f（4）=20].
[f（x）]的值域[A=2，8，14，20].
[g（1）=1，g（2）=2，g（3）=4，g（4）=8]，
[g（x）]的值域[B=][1，2，4，8].
[A?B=1，2，4，8，14，20]，[A?B=2，8].
从[A?B]中任取一元素[a]，共有6个不同的基本结果，由于是任意取的，每个结果出现的可能性是相等的，记事件[M]为“[a∈A?B]”，则事件[M]共包含两个基本结果，所以[P（M）=26=13].
答案 [13]
点拨 （1）利用古典概型概率公式求概率时，求试验的基本事件和事件[A]的基本事件的个数，必须利用树状图、表格、集合等形式把事件列举出来，格式要规范.（2）列举基本事件时，注意找规律，要不重不漏.
2. 几何概型
例3 若实数[a，b]满足，则[a2+b2≤1]关于[x]的方程[x2-2x+a+b=0]有实数根的概率是_______________.
解析 由已知得，[Δ=4-4a+b≥0]解得，[a+b≤1]，图形如下.
其中[a2+b2≤1]对应的是圆形区域，直线[a+b=1]将圆形区域分为上下两部分，当[a，b]在下半部分取值时，能保证方程有实根，
所以所求的概率为：[P=34×π×12+12×1×1π×12=3π+24π.]
答案 [3π+24π]
点拨 （1）求几何概型概率，一般先要求出试验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成的区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解.（2）求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件A”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.
3. 随机模拟
例4 如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数1000据为依据可以估计出该不规则图形的面积为______平方米.（用分数作答）
解析 向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件[A]，
[P（A）=3751000=38=S正方形面积S不规则图形面积，][S不规则图形面积=83m2.]
答案 [83]
备考指南
1. 重点掌握古典概型和几何概型公式.
2. 注意基本事件的等可能性，分清概率模型，特别是几何概型中，要分清是长度、面积、还是体积之比.
限时训练
1. 设不等式组[0≤x≤2，0≤y≤2]表示平面区域为[D]，在区域[D]内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ）
A. [π4] B. [π-22]
C. [π6] D. [4-π4]
2. 若在区间[0，2]上随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于[12]的概率是 （ ）
A. [916] B. [34]
C. [1516] D. [1532]
3. 从集合[A=-1，1，2]中随机选取一个数记为[k]，从集合[B=-2，1，2]中随机选取一个数即为[b]，则直线[y=kx+b]不经过第二象限的概率为 （ ）
A. [29] B. [13]
C. [49] D. [59]
4. 在[-2，3]上随机取一个数[x]，则[（x+1）（x-3）≤0]的概率为 （ ）
A.[25] B.[14]
C.[35] D.[45]
5. 在区间[（0，π2）]上随机取一个数[x]，则事件[“sinx≥22”]发生的概率为 （ ）
A. [34] B. [23]
C. [12] D. [13]
6. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20，30）上的概率为 （ ）
[1＼&8＼&9＼&＼&＼&＼&2＼&1＼&2＼&2＼&7＼&9＼&3＼&0＼&0＼&3＼&＼&＼&]
A.0.2 B.0.4
C.0.5 D.0.6
7. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是 （ ）
A.[15] B.[25]
C.[35] D.[45]
8. 如图，在圆心角为直角的扇形[OAB]中，分别以[OA，OB]为直径作两个半圆. 在扇形[OAB]内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）
A.[1-2π] B.[12-1π]
C.[2π] D.[1π]
9. 在面积为1的正方形[ABCD]内部随机取一点[P]，则[PAB]的面积大于等于[14]的概率是 （ ）
A. [15] B.[12]
C.[13] D.[14]
10. 已知[Ω=x，yx+y≤6，x≥0，y≥0，A=x，y][x≤4，y≥0，x-2y≥0，]若向区域[Ω]内随机投一点[P]，则点[P]落在区域[A]内的概率为 （ ）
A. [13] B. [23]
C. [19] D. [29]
11. 任取一个三位正整数[N]，则对数[log2N]是一个正整数的概率是__________.
12. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数[a]，则事件[“3a-1>0”]发生的概率为__________.
13. 设[a∈{1，2，3}， b∈{2，4，6}]，则函数[y=logba1x]是减函数的概率为___________.
14. 一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）.
15.设关于[x]的一元二次方程[x2+2ax+b2=0].
（1）若[a]是从[0，1，2，3]四个数中任取的一个数，[b]是从[0，1，2]三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若[a]是从区间[0，3]上任取的一个数，[b]是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
16. 高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生.现在班主任老师要从第一组选出2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.
（1）求选出的3人均是男生的概率；
（2）求选出的3人中有男生也有女生的概率.
17. 某小组共有[A，B，C，D，E]五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：
[＼&A＼&B＼&C＼&D＼&E＼&身高＼&1.69＼&1.73＼&1.75＼&1.79＼&1.82＼&体重指标＼&19.2＼&25.1＼&18.5＼&23.3＼&20.9＼&]
（1）从该小组身高低于18.0的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）上的概率.
18.已知[A=xx2+2x-3
（1）在区间（-4，4）上任取一个实数[x]，求[“x∈A∩B”]的概率；
（2）设[a，b]为有序实数对（如有序实数对（2，3）与（3，2）不一样），其中[a]是从集合[A]中任取的一个整数，[b]是从集合[B]中任取的一个整数，求“[b-a∈A?B]”的概率.