探究K的几何意义及运用

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根据反比例函数的意义可知，两个变量与的乘积是一个常数（≠0）.如图1，设P（，）是反比例函数 =图象上的任意一点，过P作轴、轴的垂线，垂足为A、B，则OPA（或OPB）的面积 = OA・PA = || =||，即矩形PAOB的面积等于||.

由此，我们得出系数的几何意义：过双曲线上任意一点P（，）分别作轴、轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为||.灵活运用此性质可以帮助我们快速简捷地解决一些相关问题.

一、已知面积求函数解析式

例1 如图2，点P在反比例函数的图象上，过点P作PA 轴于点A，过点P作PB 轴于点B，矩形OAPB的面积9，则反比例函数的关系式为______.

（2006年福建省泉州市）

解析：由题意，得|| = 9，又双曲线的两分支分布在第一、三象限，所以＞0，故= 9. 所以所求反比例函数的关系式为 = .

二、已知函数关系式求面积

例2如图3，如果函数 = 与 =的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于轴，垂足为点C，则BOC的面积为_____.

（2006年四川省广安市）

解析：由 = 与 =相交，得 = ，即2= 4，所以 =±2，所以A点的坐标为（2，2）.

所以AOC的面积S = || = 2.

又因为A与B关于原点对称，所以OA = OB，即BOC的面积等于AOC的面积，所以BOC的面积为2.

三、比较图形面积的大小

例3 如图4，P1、P2、P3是双曲线 = 上的三点. 过这三点，分别作轴的垂线，得到三个三角形P1A1O、P2A2O、P3A3O，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则（）.

A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3

C. S1＜S3＜S2D. S1 = S2 = S3（2005年广西省玉林市）

解析：由反比例函数的性质，得P1A1O、P2A2O、P3A3O的面积都相等，即S1 = S2 = S3= ||，故选D.

四、确定面积的取值范围

例4 如图5，已知点M（2，1）、N（2，6）两点，反比例函数 = 与线段MN相交.过反比例函数 = 上任意一点P作轴的垂线PG，G为垂足，O为坐标原点，则OPG的面积S的取值范围是（）.

A. ≤S≤3 B. 1≤S≤6

C. 2≤S≤12 D. S≤2或S≥12（2006年山东省滨州市）

解析：设点P坐标为(0，0)，则由反比例函数的意义，知S = ||.

因为反比例函数 = 与线段MN相交，且M、N两点分别为（2，1）、（2，6），

所以0 = 2，0 = ，且1≤0≤6，即有1≤≤6.

所以1≤S≤6，故选B.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”