牛顿运动定律在直线运动中的应用

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一、匀变速直线运动规律的应用

例1 动车从[A]站以[a1=0.5]m/s2的加速度匀加速启动，当速度达到180 km/h时开始做匀速行驶，接近[B]站以大小为[a2=0.5] m/s2的加速度匀减速刹车，静止时恰好正点到达[B]站. 某次，动车在[A]站因故晚出发了3 min，以[a1=0.5] m/s2匀加速启动后，当速度达到216 km/h开始匀速运动，接近[B]站以大小为[a2=0.5] m/s2的加速度匀减速刹车，静止时也恰好正点到达[B]站. 求[A、B]两站间的距离.

解析 解答本题时注意：①两次动车运动的总位移关系；②两次动车运动的总时间关系；③将速度的单位转化为国际单位制单位.

设动车匀速行驶时间为[t1]，匀加速行驶时间为[t1′]，由于加速时的加速度与减速时的加速度大小相等，故加速时间与减速时间相等，加速位移与减速位移也相等. 故有

[v1=at1′]

[sAB=2×12at1′2+v1t1]

第二次启动的最大速度[v2]=216 km/h=60 m/s

设匀速行驶时间为[t2]，加速时间为[t2′]，则

[v2=at2′]

[sAB=2×12at2′2+v2t2]

因两次均正点到达，则有

[2t1′+t1=2t2′+t2+180]

以上各式联立解得

[sAB]=60 km.

点评 在匀变速直线运动中，一般规定初速度的方向为正方向（但不绝对，也可规定为负方向），凡与正方向相同的矢量为正值，相反的矢量为负值，这样就把公式中的矢量运算转换成了代数运算. 物体做匀减速直线运动，减速为零后再反向运动，如果整个过程加速度恒定，则可对整个过程直接应用矢量式. 物体做加速运动还是减速运动只取决于速度与加速度方向间的关系，与加速度的增大或减小无关.

二、动力学的两类基本问题[图1]

例2 为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做成两条质量均为[m]、形状不同的“[A]鱼”和“[B]鱼”，如图1. 在高出水面[H]处分别静止释放“[A]鱼”和“[B]鱼”，“[A]鱼”竖直下潜[hA]后速度减小为零，“[B]鱼”竖直下潜[hB]后速度减小为零. “鱼”在水中运动时，除受重力外，还受到浮力和水的阻力. 已知“鱼”在水中所受浮力是其重力的倍，重力加速度为[g]，“鱼”运动的位移值远大于“鱼”的长度. 假设“鱼”运动时所受水的阻力恒定，空气阻力不计. 求：

（1）“[A]鱼”入水瞬间的速度[vA1]；

（2）“[A]鱼”在水中运动时所受阻力[fA]；

（3）“[A]鱼”和“[B]鱼”在水中运动时所受阻力之比[fA∶fB].

解析 两“鱼”入水前做什么规律的运动？两“鱼”入水后竖直下潜过程中，受哪些力作用？做什么规律的直线运动？

（1）“[A]鱼”在入水前做自由落体运动，有

[vA12-0=2gH] ①

得[vA1=2gH] ②

（2）“[A]鱼”在水中运动时受重力、浮力和阻力的作用，做匀减速运动，设加速度为[aA]，有

[F合=F浮+fA-mg] ③

[F合=maA] ④

[0-vA12=-2aAhA] ⑤

由题意[F浮=910mg]

综合上述各式，得

[fA=mg（hhA-19）] ⑥

（3）考虑到“[B]鱼”的受力、运动情况与“[A]鱼”相似，有

[fB=mg（hhB-19）] ⑦

综合⑥、⑦两式，得

[fAfB=hB 9H-hAhA 9H-hB]

点评 常用方法：（1）整体法、隔离法. （2）正交分解法. 一般取加速度方向和垂直于加速度方向进行分解，为减少分解的矢量的个数，有时也根据情况分解加速度. 应用牛顿第二定律列式时，一般以加速度方向为正方向，而应用运动学公式列式时，一般以初速度方向为正方向，在处理具体问题时加速度与初速度的方向不一定一致，因此要注意[v0]和[a]的符号.

三、牛顿运动定律与图象的综合应用

例3 如图2甲，质量为[M]的长木板，静止放置在粗糙水平地面上，有一个质量为[m]、可视为质点的物块，以某一水平初速度从左端冲上木板. 从物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的[v-t]图象分别是图2乙中的折线[acd]和[bcd]，[a、b、c、d]点的坐标分别为[a（0，10）、b（0，0）、][c（4，4）、d（12，0）]. 根据[v-t]图象，求：

[10

8

6

4

2][2 4 6 8 10 12]

甲 乙

图2

（1）物块冲上木板做匀减速直线运动的加速度大小[a1]，木板开始做匀加速直线运动的加速度大小[a2]，达到共同速度后一起做匀减速直线运动的加速度大小[a3]；

（2）物块质量[m]与长木板质量[M]之比；

（3）物块相对长木板滑行的距离[Δs].

解析 解答本题时注意：①[v-t]图象斜率大小表示物体运动的加速度大小；②不同物体或不同时间阶段受力情况分析；③物块与木板同速后不再发生相对滑动.

（1）由[v-t]图象可求出物块冲上木板做匀减速直线运动的加速度大小

[a1=10-44]m/s2=1.5m/s2

木板开始做匀加速直线运动的加速度大小

[a2=4-04]m/s2=1m/s2

达到共同速度后一起做匀减速直线运动的加速度大小

[a2=4-08]m/s2=0.5m/s2.

（2）对物块冲上木板匀减速运动阶段，有

[μ1mg=ma1]

对木板向前匀加速阶段，有

[μ1mg-μ2（m+M）g=Ma2]

物块和木板达到共同速度后向前匀减速阶段，有

[μ2（m+M）g=（M+m）a3]

以上三式联立可得[mM=32].

（3）由[v-t]图象可以看出，物块相对于长木板滑行的距离[Δs]对应图中[abc]的面积，故

[Δs=10×4×12m=20m].

点评 （1）首先弄清图象纵、横坐标的含义（位移、速度、加速度等）. （2）利用图象分析动力学问题时，关键要将题目中的物理情境与图象结合起来分析，利用物理规律或公式求解或作出判断. （3）弄清图象中斜率、截距、交点、转折点、面积等的物理意义，从而充分利用图象提供的信息来解决问题.