双曲线常见题型归纳
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例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两个观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上.）
解析 如图，以接报中心为原点[O]，正东、正北方向为[x]轴、[y]轴正向，建立直角坐标系.设[A，B，C]分别是西、东、北观测点，则[A（-1020，0）]，[B（1020，0）]，[C（0，1020）.]
设[P（x，y）]为巨响发生点，由[A，C]同时听到巨响声，得[|PA|=|PC|]，故[P]在[AC]的垂直平分线[PO]上，[PO]的方程为[y=-x]，因为[B]点比[A]点晚4s听到爆炸声，故[|PB|-|PA|=340×4=1360.]
由双曲线定义知[P]点在以[A，B]为焦点的双曲线[x2a2-y2b2=1]上，依题意得[a=680， c=1020]，
[ b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.]
故双曲线方程为[x26802-y25×3402=1.]
将[y=-x]代入上式，得[x=±6805].
[|PB|>|PA|]，
[x=-6805， y=6805，]即[P（-6805，6805），]故[PO=68010.]
答：巨响发生在接报中心的西偏北[45°]距中心[68010m]处.
点拨 时间差即为距离差，到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线.
题型二 求双曲线的标准方程
例2 已知双曲线[C]与双曲线[x216-y24=1]有公共焦点，且过点[（32，2）].求双曲线[C]的方程.
解析 设双曲线方程为[x2a2-y2b2=1]，则[c=25].
又双曲线过点[（32，2）]，[（32）2a2-22b2=1.]
又[a2+b2=（25）2]，[a2=12， b2=8].
故所求双曲线的方程为[x212-y28=1].
点拨 求双曲线的方程，关键是求[a，b]. 在解题过程中应熟悉各元素（[a，b，c，e]及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
题型三 求离心率或离心率的范围
例3 已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1，F2]，点[P]在双曲线的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，则此双曲线的离心率[e]的最大值.
解析 由定义知[|PF1|-|PF2|=2a]，又已知[|PF1|=4|PF2|]，解得[|PF1|=83a]，[|PF2|=23a]，在[PF1F2]中，由余弦定理得，
[cos∠F1PF2=649a2+49a2-4c22?83a?23a=178-98e2]，要求[e]的最大值，即求[cos∠F1PF2]的最小值，当[cos∠F1PF2=-1]时，解得[e=53]，即[e]的最大值为[53.]
点拨 这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决.
题型四 与渐近线有关的问题
例4 若已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A. [2] B. [3] C. [5] D. 2
解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，
故[b=2a]，[e2=c2a2=1+b2a2=5]，所以[e=5.]
点拨 双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过[a，b，c]的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程.
题型五 直线与双曲线的位置关系
例5 （1）过点[P（7，5）]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，求出它们的方程；
（2）直线[y=kx+1]与双曲线[3x2-y2=1]相交于[A，B]两点，当[a]为何值时，[A，B]在双曲线的同一支上？当[a]为何值时，[A，B]分别在双曲线的两支上？
解析 （1）若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[（7，0）]，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为[y-5=k（x-7）]，即[y=kx+5-k7].
代入得，[x27-（kx+5-k7）225=1]，
[25x2-7（kx+5-k7）2=7×25].
即[（25-7k2）x2-14kx（5-k7）+7（5-k7）2-175][=0].
当[k=577]时，方程无解，不满足条件；
当[k=-577]时，[2×57x×10=75]方程有惟一解，满足条件；
当[k2≠257]时，令
[Δ=[14k（5-k7）]2-4（25-7k2）[（5-k7）2-165]=0，]
化简得：[k]无解，不满足条件.
所以满足条件的直线有两条，[x=7]和[y=-577x+10].
（2）把[y=kx+1]代入[3x2-y2=1]整理得，
[（3-a2）x2-2ax-2=0].
当[a≠±3]时，[Δ=24-4a2].
由[Δ>0]得[-6
若[A，B]在双曲线的同一支，须[x1x2=2a2-3]>0 ，所以[a3].
故当[-6
点拨 与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线，另一种是与双曲线相切的直线也有两条.
题型六 求轨迹方程
例6 双曲线[x29-y2=1]有动点[P]，[F1，F2]是曲线的两个焦点，求[ΔPF1F2]的重心[M]的轨迹方程.
解析 设[P，M]点坐标各为[P（x1，y1），M（x，y）]，
在已知双曲线方程中[a=3，b=1]，
[c=9+1=10].
双曲线的两焦点为[F1（-10，0），F2（10，0）]，
[ΔPF1F2]存在，[y1≠0].
由三角形重心的坐标公式有，
[x=x1+（-10）+103，y=y1+0+03，]即[x1=3x，y1=3y.]
[y1≠0]，[y≠0].
已知点[P]在双曲线上，将上面的结果代入已知曲线方程，有[（3x）29-（3y）2=1（y≠0）].
即重心[M]的轨迹方程为[x2-9y2=1（y≠0）].
点拨 注意定义法求轨迹方程的一般方法、步骤，以及“转移法”求轨迹方程的方法.