函数定义域求法分类例析

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有些同学对简单函数的定义域都觉得难于理解,对于复合函数、抽象函数的定义域则更加感到茫然无措?郾 本文对常见函数定义域的求法进行分类例析,希望能帮助同学们解除困惑.

一、简单函数定义域的求法

在求简单函数的定义域时,应该考虑下列几个方面:(1) 分式的分母不为零;(2) 开偶数次方根的代数式应是非负数;(3) 对数函数的底数大于零且不等于1,真数大于零;(4) 对于函数y=x0,x的定义域是{x|x∈R且x≠0}.

例1 (2010年湖北文科卷)函数y=■的定义域为()

A?郾 (■,1)?摇 ?摇 B?郾 (■,+∞)

C?郾 (1,+∞)?摇?摇 D?郾 (■,1)∪(1,+∞)

解 依题意,有4x-3>0,log0.5(4x-3)>0,即x>■,4x-3

点评 本题考虑了对数的真数大于0、偶数次方根为非负数、分母不为0等因素,所求定义域是上述集合的交集?郾 当然,本题亦可利用函数的图象来解.

二、复合函数定义域的求法

由y=f(u)及u=g(x)复合而成的函数y=f[g(x)]叫复合函数. 在求其定义域时,不仅要考虑中间变量u=g(x)的值域,还要考虑函数y=f(u)的定义域.

例2 已知函数f(x)=■,g(x)=■,则函数y=g[f(x)]的定义域为 .

解 因为函数f(x)=■及g(x)=■的定义域分别是A={x|x≠1}及B={x|x≠-2},而y=g[f(x)]=g(■)=■=■,

所以其定义域应是x≠1,■≠-2,x≠3?郾可得x≠1且x≠3?郾

故函数y=g[f(x)]的定义域为{x|x∈R且x≠1且x≠3}.

点评 求复合函数y=f[g(x)]的定义域时,我们不仅要考虑函数y= f(x)的定义域,还要考虑函数y=g[f(x)]的定义域.

三、抽象函数定义域的求法

所谓抽象函数,就是指没有给出具体的函数形式的函数. 求这类函数的定义域,可以促使同学们深入理解函数的概念,有利于培养同学们的思维能力.

例3 已知函数f(2x-1)的定义域是[0,1],试求函数f(1-3x)的定义域.

解 因为f(2x-1)的定义域是[0,1],则0≤x≤1,-1≤2x-1≤1.

若令t=2x-1,则f(t)的定义域是[-1,1].

对于函数f(1-3x)应有-1≤1-3x≤1,所以0≤x≤■.

故函数f(1-3x)的定义域是[0,■].

点评 换元法是解决抽象函数的定义域问题最简捷、最有效的方法之一.

四、有关含参变量的函数定义域方面的综合题的解法

例4 求函数f(x)=ln(ax-k・2x)(a>0且a≠1)的定义域.

解 依题意ax-k・2x>0,即(■)x>k.

(1) 当k≤0时,函数f(x)=ln(ax-k・2x)的定义域是R;

(2) 当k>0时,函数f(x)=ln(ax-k・2x)的定义域分四种情况讨论:

① a∈(0,1)∪(1,2)时,x

② 当k>0且a∈(2,+∞)时,x>log■k, f(x)的定义域是{x|x>log■k};

③ 当a=2且0

④ 当a=2且k>1时, f(x)的定义域是?堙.

点评 分类讨论法是解决含参变量问题行之有效的方法.本题有两个参变量,而不等式(■)x>k是恒成立问题,因此先要就k进行讨论,然后在k的每一范围内,再考虑参变量a在不同取值范围内,从而求出该函数的定义域.