源于课本的美妙恒等式

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题目：设a，b，c都是不等于1的正数，且ab≠1，求证：alogcb=blogca.

这道题出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1的第111页，可推广为：设c>0，且c≠1，a，b>0，则alogcb=blogca.

证明：设logcb=m，logca=n，则cm=b，cn=a.

am=cnm=cmn，bn=cmn=cmn.

am=bn，即证alogcb=blogca.

一个十分美妙的对数恒等式诞生了！式子的结构体现了数学的对称与和谐，而它在解题中的应用更是让人拍手称“快”.下面试举几例说明一二.

证明：alogaN=N.

解析 直接运用公式：alogaN=Nlogaa=N，即证.由此可见，著名的“对数恒等式”是这个公式的一个特例.

例2 证明换底公式：logab=logcblogca（其中a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1）.

解析 由alogcb=blogca根据对数的定义可得：logcb=logablogca=logca·logab.

logab=logcblogca.即证.

例3 计算4log25+3log925.

解析 这道题目考查了幂的运算性质、对数运算性质、对数恒等式以及换底公式，有一定的难度.下面用公式给出一个简洁的解法.

解 原式=5log24+25log93=52+2512=25+5=30.

例4 设a=πln10，b=10logπe，试比较a，b的大小.

解析 a=πln10=10lnπ，故只须比较lnπ与logπe，

lnπ>lne=1，logπelogπe，

10lnπ>10logπe，

a>b.

例5 解方程：3logax+3xloga3=2a>0，a≠1.

解 xloga3=3logax，原方程可化为3logax+3·3logax=2，

4·3logax=2，3logax=2，

logax=log312，

x=alog312，

故原方程的解为x=alog312.

例6 解不等式：12loga（x2-3x+2）>（x2+8）loga12a>1.

解 原不等式可化为：12loga（x2-3x+2）>12loga（x2+2），

logax2-3x+2

a>1，x2-3x+2-2，

又x2-3x+2>0，x>2或x

原不等式的解为：x>2或-2