平面向量中的数学思想方法

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平面向量是中学数学的重要内容，也是近年来高考命题的热点，因此我们应给予足够的重视，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以适应高考对平面向量的要求，现归纳总结如下：

一、数形结合思想

例1.一架飞机向北飞行100千米，然后改变方向向西飞行100千米，求飞机飞行的路程及两次位移的和.

说明：本题主要是考察向量加法与实数加法的区别，路程为距离问题，直接相加即可；位移为向量加法，应按向量知识解决.区别向量、数量是解决本题的关键。

解：如图1，飞机飞行的路程为： ■+■=100+100=200（千米）；位移为：■=100■（千米）。

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二、函数与方程思想

例2.已知点O是ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设■=a，■=b，■=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3试用a和b表示c.

说明：本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基本定理有c=？姿1a+？姿2b，当a，b，c的坐标已知时，该式实际上是一个关于？姿1，？姿2的二元一次方程组，由此可确定？姿1，？姿2，这是解决本题的一个重要思想，同时也有助于我们理解平面向量的基本定理。

解：如图2所示，以点O为原点，■为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B（cos150°，sin150°），C（3cos240°，3sin240°），

即B-■，■，C-■，-■.

又知a=（2，0），b-■，■，C-■，-■.

设c=？姿1a+？姿2b（？姿1，？姿2∈R），

从而有-■，-■=？姿1（2，0）+？姿2-■，■=2？姿1-■？姿2，-■？姿2，

2？姿1-■？姿2=■■？姿2=-■，解得 ？姿1=-3？姿2=-3■

c=-3a-3■b.

三、转化与化归思想

转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法，以向量为工具，通过转化，可以为平面几何中的许多问题提供新颖、简捷的解法。

例3求证：如果四边形ACPH，AMBE，AHBI，BMXK，CKXP都是平行四边形（所有四边形的顶点按同一方向排列），那么四边形ABTE也是平行四边形。

说明：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，抓住平行四边形的特征―――“对边平行且相等”进行转化，此题即可迎刃而解。

证明：由？荀AMBE得■=■，由？荀BMXK得■=■，由？荀CKXP得■=■，由？荀ACPH得■=■，由？荀AHBT得■=■所以 ，即四边形ABTE是平行四边形。

四、分类讨论思想

例4.已知向量a，b的模长分别是|a|=4，|b|=6，求|a+b|的最大值和最小值。

说明：平面向量问题中含有向量方向相同，相反及不共线的问题是分类讨论的一大亮点，遇到这类问题利用分类讨论的思想不可忽视。

解：向量a，b的模已确定，但方向不定，因此应分情况讨论a，b的方向，作■=a，■=b，■=a+b.

（1）当a，b不共线时，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得

||■|-|■||

（2）当向量a，b共线时，要分同向与反向两种情况。

若向量a，b同向，则|■|=|■|+|■|=4+6，即|a+b|=10.

若向量a，b方向相反，则|■|

故|a+b|的最大值为10，最小值为2.