例谈三个“一次”的关系

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方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系，那么能否从数量之间的关系将一次函数与一次方程、一次不等式联系起来呢？

一、典例分析

例1一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还以每份0.2元的价格退还给报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购的报纸份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y.

（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？（3）报亭每天应该从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润不少于560元？

分析：先根据题意得出一次函数的解析式并确定自变量x的取值范围，再用一次函数的性质和一元一次方程确定它的最大值，用一元一次不等式确定限定函数值所对应的自变量x的取值范围.

解：（1）由题意得，x应满足60≤x≤100，且是正整数，

则每月共销售〖JB（（〗20x+1060〖JB））〗份，退回报社10〖JB（（〗x-60〖JB））〗份，

卖出的报纸每份获得利润1-0.7=0.3（元），

退回的报纸每份亏损0.7-0.2=0.5（元），

所以每月所获利润y=0.3〖JB（（〗20x+1060〖JB））〗-0.510〖JB（（〗x-60〖JB））〗，

即y=x+480（60≤x≤100，且x是正整数）.

（2）k=1>0，

函数y随x增大而增大.

当x=100时，y有最大值，即y=580.

报亭应该每天从报社订购100份报纸，才能使每月利润y最大，最大利润为580元.

（3）由题意得，y≥560，

x+480≥560.

解得x≥80.

60≤x≤100，80≤x≤100，

报亭每天该从报社订购80至100份报纸，才能使每月所获利润不少于560元.

当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量的取值范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.

二、常见题型

1.利用函数图象解一元一次不等式

例2作出函数y=x+2的图象，根据图象回答下列问题：

（1）当x取何值时，x+2>0？

（2）当x取何值时，x+2=0？（3）当x取何值时，x+2

解：如图1，由图象可知：直线y=x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），

即当x=-2时，y=0.

（1）当x>-2时，x+2>0；（2）当x=-2时，x+2=0；（3）当x1.

解这类题时，要首先作出函数图象，再寻求图象与x轴或y轴的交点，然后进一步求得一元一次不等式的解集.13.TIF〗

2.利用一元一次不等式比较两个一次函数值的大小

例3已知函数y1=-x+1，y2=3x-3，求当x取何值时，y1>y2

分析：此题有两种方法，一是直接利用一元一次不等式求解；二是利用函数图象求解.下面我们只讲利用图象法.

解：如图2，在同一平面直角坐标系中分别作出直线y1=-x+1，y2=3x-3，由图象可知它们的交点的坐标为（1，0）.

对于同一个x，y1>y2，表示直线y1=-x+1上的点在直线y2=3x-3上相应点的上方，此时相对应的横坐标的x的取值范围为x

解这类题时，应弄清题意，找出不等关系，建立不等式模型求解；或利用函数图象求解.

一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，当kx+b>0时，表示直线在x轴上方的部分；当kx+b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx+b

（作者单位：福建省德化县第五中学362500）