例谈导数的综合运用

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[摘 要]导数是高中数学一个重要知识点。导数有许多方面的应用，有不等式方面的，有函数的单调性方面的，有解决有关参数方面的，甚至有一些特殊的应用。教师要充分挖掘导数的运用功能，提高数学教学效果。

[关键词]导数；运用；例谈

一、判断函数的单调性

分析：利用导数判断函数的单词性，主要是根据单调性与导函数关系在区间（a、b）内，如果f（x）>0，那么f（x）在这个区间内单调递增：如果f（x）

二、求函数的单调区间

【例2】已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，它的图像过点P（0，2）且在点M（-1f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0

（1）求函数f（x）的解析式

（2）求函数f（x）的单调区间

分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，本题先利用已知条件求出b、c、d的值。

解：（1）由函数的图像经过点P（0，2）可知d=2

f（x）=x3+bx2+cx+2f′（x）=3x+2bx+c

因为f（x）在点M（-1f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0

所以3-2b+c=6即2b-c+3=0

而点M既在已知函数图像上又在切线上

故有f（-1）=-1+b-c+2=-6+7即b-c=0

2b-c+3=0

由2b-c+3=0b-c=0 得b=c=-3

故f（x）=x3-3x2-3x+2

评注：充分挖掘出点M的三种作用，即在已知图象上，在切线上及曲线在该点的导数，单调区间不可写成并集的形式。

三、运用导数解不等式问题

【例3】设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值

（1）求a、b的值

（2）若对任意的x∈[0，3]都有f（x）

分析：对于（2），首先根据导数求出函数f（x）的最大值，根据不等式恒成立构造新的不等式，进而求解。

解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b

因为函数f（x）在x=1及x=2时取极值，有f′（1）=0，f′（2）=0

即6+6a+3b=024+12a+3b=0 解得a=-3，b=4

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c

所以当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（3）=9+8c

则当x∈[0，3]时，f（x）最大值为f（3）=9+8c

因为对于任意x∈[0，3]都有f（x）

所得c9因此c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）

评注：本题主要考查用导数研究不等式的知识，考综合分析问题的能力，此类问题为高考热点。