式子n(n-1)/2在初中数学中的应用举例

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引例 某班共有50名学生，在元旦联欢晚会上每两人都握一次手以示致意，请问他们共握手多少次？若该班有n名学生，则他们共握手多少次？

解析：假设第1个学生分别与其他学生握手，可握49次手；第2个学生分别与其他学生握手，可握49次手；…以此类推，第50个学生分别与其他学生握手，也握49次手.显然此时每两人握了两次手.故根据题意，50名学生每两人之间握一次手共握手50×492=1225次.

若该班有n名学生，则他们每两人之间握一次手共握手n(n-1)2次；若他们每两人之间握两次手则共握手n(n-1)次.在平时教学中，发现n(n-1)2和n(n-1)在中学数学中有着非常广泛的应用，同样适用于判断线段条数、确定体育比赛的场数、数直线的条数、数直线交点的个数、确定某些概率问题（有放回）的基本事件个数等，下面列次举几例说明此式的应用.

例1 已知一条直线上有4个点A、B、C、D，则得到的线段条数是多少？若直线上有n个点呢？

解析：4个点可以看做是4名学生，每两点构成一条线段，就好比是两个学生之间握一次手，4名同学每两人之间握一次手共握手4×32=6次，即直线上4个点共构成6条线段.

变式1：某列火车在A地到B地间来回行驶，中间还停靠8个距离不等的站点，问印制的车票中有多少种不同票价？有多少种车票？（印制的车票中有10×92=45种不同票价;从甲到乙和从乙到甲票价相同但车票不同，故有10×9=90种车票）

例2 学校准备举行年级组（共6个年级组）篮球赛，赛制决定实行单循环积分制，请计算一下共需多少场比赛？

解析：6个年级组组织单循环积分篮球赛，就好比是6个学生之间握一次手，6名同学每两人之间握一次手共握手6×52=15次，即6个年级组组织单循环积分篮球赛共需15场.

变式2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（设需要邀请n个队参赛，根据题意得n(n-1)2=28，解得n1=8，n2=-7（舍）.故需要邀请8个队参赛）

变式3：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，问共有多少个队参加比赛？（设n个队参加比赛，根据题意得n(n-1)=90，解得n=10，n2=-9（舍）.故共有10个队参加比赛）

例3 已知平面内有5个点A、B、C、D、E,其中任何三点均不在同一条直线上，那么过这5个点中的任意两点画直线，一共可以画多少条直线？

解析：两点确定一条直线，故过平面内任何三点均不在同一条直线的5个点中的任意两点画直线，一共可以画5×42=10条直线.

变式4：新年将至，某班30名同学打算互送贺卡以表示对同学的新年祝愿，问他们供需要购买多少张贺卡？（互送贺卡相当于两人之间握两次手，故需买贺卡30×29=870(张)

例4 现有12条直线，两两相交，最多有多少个交点？

解析：两条直线相交只有一个交点，12条直线两两相交相当于12个人之间各握一次手，故12条直线两两相交最多有12×112=66个交点.

例5 在一个口袋中有四个完全相同的小球，他们分别标号为1、2、3、4，先随机摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，问在这个实验中有多少个基本事件？

解析：这个实验很像两个同学之间握手，若考虑结果的顺序性（也就是说像1-3和3-1是两个不同事件），则相当于两人握了两次手，故实验基本事件有4×3=12个；若不考虑结果的顺序性（也就是说像1-3和3-1是同一个事件），则相当于两人握了一次手，故实验基本事件有4×32=6个.

以上几个问题，虽然内容不同，但解题的思想相同，且在中学数学中有着非常广泛的应用.总之，在教学中只要我们引导学生领会好数学问题的规律，遵循学生思维发展的规律和认知特点，并在教学中结合学生的基础，灵活变通地开展教学活动，定能培养学生的学习兴趣，有效地提高学生解答数学问题的能力.