对两个几何问题的射影思考

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例1 已知抛物线E：x2=4y，对于定点M（x0，y0），直线l：x0x=2（y+y0）称为点M关于抛物线E的伴随直线。设M（1，2）的伴随直线为l。

（1）求直线的方程；

（2）设点P在抛物线E上，若点P到直线的距离最小，求点P的坐标；

（3）过M作直线交抛物线E于A、B两点，再过A、B分别作的垂线，垂足分别为A1、B1，求证：■=■。

探讨1 抛物线E：x2=4y在点A、B处的切线相交于点J（■，■），且点J在伴随直线上。

探讨2 设AB中点为C，则JC平行于抛物线的对称轴，过无穷远点。

探讨3 设MM1l于点M1，连接M1A、M1B，则M1M平分∠AM1B。

定义 伴随直线l：x0x=P（y+y0）称为点M（x0，y0）关于抛物线x2=2Py的极线，点M（x0，y0）称为直线l：x0x=P（y+y0）关于抛物线x2=2Py的极点。

探讨4 设直线AB∩l=N，则点N关于抛物线x2=2Py的极线lN：xNx=P（y+yN）必过点M（x0，y0）。

分析圆锥曲线E有以下性质：

（1）设点P1、P2关于E的极线分别为lp1、lp2，若点P1在上，则点P2在上；（2）设点P1、P2、P关于E的极线分别为lP1、lP2、l，则P1、P2在l上当且仅当点P是lP1、lP2的交点。

由性质（1）即可得到点M在lN上.由性质（2），直线lM上任一点关于E的极线必过点M.点J（pk，kx0-y0）关于E的极线lJ：xjx=p（y+yj）即为直线AB.我们称这样的直线AB称为射影直线。

由定理，射影直线AB上的点列A、B、M、N的复比（或单比）（ABMN）=1，即=■=1，而单比（ABM）=■，（ABN）=■，得■÷■=1，即■・■=1。

例2 已知圆O：x2+y2=a2与x轴交于两点A1、A2，F为椭圆C：■+■=1的右焦点。

（1）若椭圆长轴长为4，离心率e=■，求椭圆方程；

（2）点P为圆O上异于长轴端点的动点，过点P作圆O的切线与直线l：x=■交于点Q，MM1l于点M1，NN1l于点N1，①判断直线PF与直线OQ的位置关系并加以证明。②求证：■=■。

探讨1 点Q（■，■・■）关于圆O的极线为直线PF：y=k（x-c），关于椭圆C的极线■+■=1，即为y=■（x-c），过点F（c，0）。

探讨2 点R（■，■）关于圆O的极线y=■（x-c）过点F。点R关于椭圆C的极线为■+■=1，即为直线PF：y=k（x-c），过点F（c，0）。

探讨3 点S（■，■）关于圆O的极线y=■（x-c）过点F.点S关于椭圆C的极线■+■=1，即为y=■，过点F（c，0）。

探讨4 点F（c，0）关于圆O的极线为x=■，点F关于椭圆C的极线为■+■=1，即为x=■，所以说椭圆的右准线就是一条射影直线。

（作者单位：江苏省宝应县安宜高级中学）