特征0的Cartan型李超代数W及其导子
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刘晨宇
摘 要：本文在研究李超代数W基础上，给出在特征为0时其导子以及性质．
引言
李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域．李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学的分支．李超代数的偶部分恰为李代数，其奇部分为偶部分的自然模．因此，李超代数的研究往往要借鉴李代数的结果和方法．近年来，李超代数及其相关理论在更多方面取得了实质性成果．（参见文献［3］）本文在研究阶化模李超代数的简单性质的基础上，进一步给出了特征0时W的生成元及其导子．
1、基础知识
在本节中令F为任意数域，Z={0,1}为数域中的两个元素，本文中，所有的向量空间，线性映射，张量积都是在基础域F下的。回忆一下,一个向量超空间是Z2-阶化向量空间V=V0V1一个超代数是一个向量超空间A=A0+A1赋予了一个像AθAμAθ=μ,θ,μ∈Z2的代数结构。
定义O(m)为除幂代数，在域F上基为{x(α)|α∈Nm0}。Λ(n)为域F上的外代数，有n个变量xm+1,xm+2,…,xm+n。通过张量积定义O(m,,n)=O(m)FΛ(n)，很明显是一个Z2-阶化的结合超代数，他包括了Ο(n)的平凡Z2-阶化和Λ(n)的自然Z2-阶化。即O(m,,n)是超交换。
令Y0:={1,2,…,m}，令为了表示简单我们m+1=1′,m+2=2′,…,m+n=n′，则Y1={1′,2′,…,n′}以及Y:=Y0∪Y1。集合Bk:={［i1,i2,…,ik］|1′≤i1≤…≤n′}以及Β:=Β(n)=∪nk=0Βk，这里Β0=0。对于u=［i1,i2,…,ik］∈Βk,|u|:=k和xu:=xi1xi2…xik。
引理1.1：设D1,D2,…,Dm+n为O(m,,n)的线性变换。记
Dr(x(α)xμ)=x(α－εr)xu,r∈Y0
x(α)rxu,r∈Y1
其中r是Λ(n)的特殊导子，r∈Y1.则Dr∈Der0(∧(m,n)),i∈Y0;Dr∈Der1(∧(m,n)),i∈Y1,有D1,D2,…,Dm+n是代数O(m,,n)的超导子。
定义1．1 设G=G0G1是李超代数，W是G的子空间，若W=W0W1,其中W0=W∩W0,W1=W∩W1，则称W是G的Z2-阶化子空间。
我们定义p(a)=θ为齐次元素的奇偶性，θ={0,1}。这里假设p(x)做为符号出现时，那么x都是Z2-齐次的。
定义1．2 设G是李超代数．若G=i∈ZGi，其中Gi是G的Z2-阶化子空间，并且GiGjGi+j,i,j∈Z，则称G是Z-阶化李超代数．（参见文献［2］）
设g和V都是有限维的，g=r∈Zgr是Z-阶化的。V=r∈ZVr是Z-阶化g-模， Der(g,V)=r∈ZDerr(g,V)则是Z-阶化g-模。其中
Derr(g,V):={D∈Der(g,V)|D(gi)Vr+i,i∈z}
2、李超代数W的Z-阶化性质
令W(m,n;t)={∑r∈YfrDr|fr∈O(m,n;t),r∈Y}为一个李超代数，是一个有限维的但李代数。为了方便我们W(m,n;t)把简写为W。由以上的定义可知W=W0W1。
一个李超代数是一个超代数满足超反交换和超Jocobi，等式令g是一个李代数，V是一个g一模，线性映射D:gV:做从g到V的导子。满足D(xy)=x・D(y)－yD(x).x,y∈g.一个导子D:gV被叫做内导子，满足存在v∈V有D(x)=x・v,x∈g。定义Der(g,V)为从g到V的导子空间。则Der(g,V)是HomF(g,V)的一个g－子模。另外g和V都是有限维的.g=r∈Zgr则是Z－阶化的。V=r∈ZVr是Z－阶化g－模， Der(g,V)=r∈ZDerr(g,V)则是Z－阶化g－模。其中
Derr(g,V):={D∈Der(g,V)|D(gi)Vr+i,i∈z}
3、特征0的W的生成元以及导子
命题 3.1 设Q={xiDj|i∈Y1,j∈Y1},则Q生成W。
证明：设Q生成的子代数为R。
(1)首先我们证明xEDY∈R。为此，对k用归纳法证明x1x2…xkDY∈R。
当k=1时，x1′D1′∈RQ。
设k>1，假设x1′x2′…xk－1∈R。因为
xk′D1′=［xk′D1′,x1′D1′］∈R
所以x1′x2′…xk′D1′=［x1′x2′…xk′－1D1′,x1xkD1′］∈R。
归纳法完成，于是可知xEDY∈R。
(2)其次证明xEDj∈M,j≠1′
任取j∈Y1，有xEDj=［xED1,x1′Dj］∈R得证。
(3)对于xμDj∈M,j≠1′这种情况。令t=|E|－|μ|来证明xμDj∈M,j≠1′。
当t=0时，|μ|=|E|由(2)显然成立。
当t≥1时，|μ|－|E|≥1，存在k′∈Y1使得xk′xμ≠0，由数学归纳法知xk′xμDj∈R。
当t=k′时，即|μ|－|E|=k有xμDj=［Dk,xk′xμDj］∈R，归纳发完成。
由(3)知R=Q即Q生成W。
命题3.2若t≥0，则Dert(W)=adWt。
命题3.3若t=0，则Der－1(W)=adW－1。（证明参见文献［1］）
命题3.4设ζ∈Der－t(W),t>1。若ζ(xiDj)=0,i,j∈Y1则ζ=0。
证明：因为ζ(xiDj)∈W－t=0,i,j∈Y1所以得证。
命题3.5设t>1，Der－t(W)=0。
证明显然。
命题3.6Der(W)=adW。
结合以上命题即得证。（作者单位：哈尔滨师范大学）
参考文献：
［1］ Wende Liu and Baoling Guan． “Derivation form the Even Parts into the Odd Parts for Lie Supperalgebras W and S”, Journal of Lie Theory Volume 17(2007) 449-468 Helodermann Verlag．
［2］ 张永正，刘文德．模李超代数．北京:科学出版社，2004
［3］ Wende Liu and Yongzheng Zhang．“Derivations and the Even Parts for Modular Lie Superalgebras of Cartan Type W and S” , International Joural of Algebra and Computation Vol.17,No.4(2007) 661-714 World Scientific Publishing Company
［4］ V． M． Petrogradski． Identities in the enveloping algebras for modular Lie superalgebras．J． Algebra 145 (1992): 121．