万有引力应用的两类模型

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万有引力是普遍存在于宇宙中任何物体之间的相互吸引力，它是自然界中物质之间基本的相互作用力之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存在着这种相互作用.万有引力定律的发现，使我们更加认清周围的世界，通常的两个物体间的万有引力很小，可以忽略，但天体间的引力却是巨大的，天体与通常物体间的引力也是很大的.例如地球上的物体受到地球的引力作用而随地球一起运动――随转；人造卫星受地球的引力作用绕地球做圆周运动

――绕转.

一、万有引力应用中的随转模型

随转模型中的特点是随转物体与地球紧密接触，绕地轴转动.满足的方程是：

F万=F重+F向

万有引力为重力和向心力的合力，注意合力与分力是等效替代关系，不能共存，即物体不能同时受到万有引力和重力.一般来说，站在地球上说物体受到重力，跳出地球外说物体受到万有引力.

1.转速很慢时

随着转速的增大，当重力逐渐减小到零时，F万=F向，赤道上的物体会漂浮，即地球瓦解.赤道上物体成为近地卫星，所以近地卫星的向心加速度等于原地面的重力加速度.

例2在一个星球上，宇航员为了估测该星球的平均密度，设计了一个简单的实验.他先利用手表，记下一昼夜的时间T，然后用弹簧测力计测一砝码的重力，发现在赤道上的重力仅为两极的90%.试写出星球的平均密度的表达式.

速度，不好利用卡文迪许测天体质量法（也为g+R法）.人们可以测出绕中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星公转周期T和轨道半径r测质量.表达式为：

GMmr2

=m4π2T2

rM=4π2r3GT2

注意：（1）这种方法只能测量中心天体的质量，不能测出运行天体的质量.

（2）除“T+r”法外，“T+v”法，“v+r”法，“ω+r”法等，均可以测质量，只要能转换到T和r就行.

例3在引力常量G已知的情况下，已知下列哪些数据可以计算出地球质量（ ）

（A） 地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离

（B） 人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期

（C） 月球绕地球运行的周期及地球半径

（D） 若不考虑地球自转，地球半径和地球表面的重力加速度

解析： 由于只能是中心天体的质量，不能测运行天体的质量，所以（A）错.可以用两类方法测质量，g+R法和T+r法，所以（B），（D）正确.（C）选项中是T+R，所以是错误的，本题选（B）（D）.

2.“T同余反”的规律性

在绕转模型中，地球卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度和向心力等均与半径有关，由上述公式可知，周期T的变化与

半径r变化是同步的，线速度v，角速度ω，向心加速度a，向心力

F的变化与半径r变化是相反的，所以称“T同余反”

注意：向心力F除了与半径r变化是相反的外，还与自身质量有关，而其他量与自身质量是无关的.

[TP

.tif>，Y#][TS（][HT5”SS][JZ]图1

[TS）]

例4我国在2010年10月3日发射的“嫦娥二号”卫星，其环月飞行的高度距离月球表面100 km，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加详实.若两颗卫星环月飞行均可视为匀速圆周运动，飞行轨道如图1所示.则（ ）

（A） “嫦娥二号”比“嫦娥一号”环月飞行的周期更小

（B）“嫦娥二号”比“嫦娥一号”环月飞行的线速度更小

（C）“嫦娥二号”比“嫦娥一号”环月飞行的角速度更小

（D） “嫦娥二号”比“嫦娥一号”环月飞行的向心力更小

解析：“嫦娥一号”和“嫦娥二号”都是绕转，所以都遵循“T同余反”的规律性，所以很容易得到（A）正确，（B）、（C）错误，对于向心力除与半径r变化是相反的外，还与自身质量有关，题中没有给出它们质量关系，所以无法判断向心力的大小关系，所以（D）错误，但我们知道“嫦娥一号”的向心加速度小于“嫦娥二号”的向心加速度.本题选（A）.

[江苏省兴化市楚水实验学校 （225700）]