关注时事经济新闻,增强数学应用能力

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人类进入21世纪后，社会政治、经济都得到了空前的发展，数学的应用也越来越为普通百姓所熟知，细心观察我们周围的生活与生产，到处都有数学应用，本文从时事经济新闻的视角，以函数为例，管窥数学在生活与生产中的应用。

一、 城市交通中的数学问题

【背景材料】

2011年12月14日，中国商务部公告称，将对原产于美国的排气量在2．5升以上的进口小轿车和越野车征收反倾销税和反补贴税，实施期限2年，自2011年12月15日起到2013年12月14日止。根据公告，将征收梅赛德斯-奔驰美国国际公司2．7%反倾销税，征收宝马美国斯帕坦堡工厂2．0%反倾销税。

【命题分析】 随着社会的发展，经济活动越来越多，各种经济杠杆综合应用也越来越频繁，如税收、准备金率等。一些和百姓日常生活相关的经济素材，如市场经济、住房改革、城市交通、节日旅游、铁路提速等等，必将成为高考命制应用题的热点之一。

【试题设计】 某市区每年约新增2万辆中高档汽车，每辆汽车平均价格约为24万元，为了减少交通拥堵，决定按t%

对新增汽车

征收城市拥堵费用于维修道路，这样预计每年的汽车增长量减少15t万辆.

（1） 试将城市拥堵费y（万元）表示成t的函数；

（2） 为了减少新增汽车，又保证用于维修道路的费用不少于7680万元，试求t的范围.

解析 （1） 收费后，每年新增汽车为2-t5万辆，共可收取费用2-t5×104×24×t%，故y=2-t5×104×24×t%=480t•(10-t)（万元）.

（2） 由题意：y≥7680，即480t(10-t)≥7680，解得：2≤t≤8.

答：（1） 城市拥堵费y关于t的函数为y=480t(10-t)；（2）t的范围是［2,8］.

点拨 这是以二次函数为背景的应用题，弄清题意和各个量之间的关系，容易得到等量关系，从而解决问题。

二、 农业生产中的数学问题

【背景材料】 据报导：10月8日，国务院总理主持召开国务院常务会议，研究农产品价格问题。去年，蔬菜价格一直高位运行，民众用“蒜你狠”、“姜你军”等词来表达对菜价上涨的无奈。今年，蔬菜市场价格波动更明显。4月份因蔬菜大量上市，出现少量在地菜收购价格“滞销跳水”，导致农民利益直接受损。到6月份受干旱天气影响，蔬菜零售价格又始终“高企不下”，出现市民“买菜贵”的问题。可10月底，市物价局监测的16种蔬菜价格的市场平均零售价为每500克1．49元，环比下降8．91%，同比下降16．75%。永年、成安等蔬菜主产区的大白菜、芹菜、洋白菜等蔬菜的收购价格更是低于成本价，有的甚至低至一毛钱一斤，较去年下跌了50%-90%，但依然无人收购，出现蔬菜严重滞销的现象。

【命题分析】 “菜贱伤农，菜贵伤民”已成为民生的一大难题，掌握市场变化规律、优化种植时间、合理安排生产将成为解决此类问题的关键所在。诸如此类问题还有，进出口贸易的淡季和旺季等问题。

【试题设计】 某地区生产的一种时令蔬菜上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)=p•qx,f(x)=logqx+p,f(x)=x-1x-q2+p（以上三式中p,q均为常数，且q>2）（注：函数的定义域是1,6，其中x=1表示4月1日，x=2表示5月1日，…，以此类推）

（1） 为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

（2） 若f1=4,f3=6，①求出所选函数f(x)的解析式；②为保证菜农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预计该蔬菜在哪几个月内价格下跌.

解析 （1） 由题中描述知，价格随时间的变化，先递增、后递减、再递增；

f(x)=p•qx是单调函数，f(x)=logqx+p也是单调函数，而f(x)=x-1x-q2+p中f′x=3x2-(4q+2)x+q2+2q，令f′(x)=0得x=q,x=q+23.

q>2，q≠q+23，f(x)有两个零点（或由Δ>0也可说明），可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应该选f(x)=x-1x-q2+p为其价格模拟函数；

（2） 由f(1)=4,f(3)=6得p=4，

2•(3-q)2+p=6， 解得：p=4，q=4.（其中q=2舍去），

f(x)=x-1x-42+4=x3-9x2+24x-121≤x≤6，又由f′x=3x2-18x+24

这种蔬菜在5,6月份价格下跌.

点拨 本题考查函数的性质、函数模型及导数的应用，同时考查数据处理与抽象概括的能力。熟练掌握指数函数、对数函数与三次函数等基本初等函数的图象和性质，不难找到合适的函数进行拟合。

三、 航海执法中的数学问题

【背景材料】 中新社广州10月26日电(记者：索有为)：舷号为“中国海监75”的专用执法船26日入列中国海监南海总队，它是目前中国海监系统里设计速度最快的执法公务船。据了解，为了进一步加强海洋维权巡航执法工作，增强海洋维权巡航执法能力，中国启动了系列新型海监船舶、飞机第二期的建造项目。预计在今后的几年中，中国海监船将再增加36艘。

【命题分析】 近年来执法护航、远程测控、航海演练等越来越频繁，各地的高考卷和模拟卷以此为背景设置三角应用题正方兴未艾，值得加以关注。

【试题设计】 某港口O要将一件重要的物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

（1） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2） 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

解析

（1） 当小艇的航行方向为正北时，小艇航行距离最小，则AC=10，CO=103，则小艇的速度为303海里/小时.

（2） 如图，由（1）得OC=103,AC=10，

故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC，

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇

不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设∠COD=θ

(0°

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t1=10+103tanθ30和t2=103vcosθ，所以10+103tanθ30=103vcosθ，解得v=153sin(θ+30°),又v≤30,故sin(θ+30°)≥32，从而30°≤θ

点拨 本题考查解三角形的相关知识，一般来说此类问题大多需用正弦定理和余弦定理加以解决，本题通过设置合适的参数（∠COD=θ），利用了直角三角形中的三角函数找到了等量关系，简化了运算.

牛刀小试

1． 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．

（1） 将税金收入表示为征收附加税率的函数；

（2） 若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？

2． 某进出口贸易公司其产品出口有淡季和旺季，出口金额随时间的变化而变化，现用t表示时间(以月为单位，年初为起点)，根据历年统计数据，其产品出口金额V(t)（单位：百万元）关于t的近似函数关系式为：

V(t)=(-t2+14t-40)e14t+100,0

（1） 若该公司出口金额小于100的月份称为淡季，以i-1

（2） 求一年内该公司最大的出口金额，并指出是哪个月？（e取2.7计算）

3． 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°

的D点有人呼救，要位于B点南偏西60°

且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

【参考答案】

1． （1） 设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y=250xt%.依题意，x=40-85t．故所求的函数关系式为y=25040-85tt%.

（2） 依题意，25040-85tt%≥600，即t2-25t+150≤0，10≤t≤15.即税率应控制在10％～15％之间为宜．

2． （1） ①当0

②当10

综上可得0

(2) 由(1)知：V(t)的最大值只能在［4,10］内达到．

由V′(t)=e14t-14t2+32t+4=-14•e14t(t+2)(t-8),令V′(t)=0，解得t=8(t=-2舍去)．当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：

t(4，8)8(8，10)

V′(t)+0-

V(t)极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)=

8e2+100=158.32(百万元)．故知一年内该

贸易

公司

的最大的出口量在8月份，出口金额是158．32百万元.

3． 由题意知AB=5(3+3)海里，∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°，所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.

在ADB中，由正弦定理得：DBsin∠DAB=

ABsin∠ADB，

所以DB=AB•sin∠DABsin∠ADB=5(3+3)•sin45°sin105°=5(3+3)•sin45°sin45°cos60°+cos45°sin60°=103，又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，BC=203，在DBC中由余弦定理得：CD2=BD2+BC2-2BD•BC•cos∠DBC=300+1 200-2×103×203×12=900，

CD=30(海里)，则需要时间t=3030=1（小时）.即该救援船到达D点需要1小时.

（作者：韩保席，江苏省吴江市高级中学）