反例在初中数学中的应用

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摘 要：在数学发展史中，反例与证明有着同等重要的地位。反例就是否定的数学例证，在教学过中，适时的反例可以帮助学生从正反两个方面理解和掌握数学知识，提高教与学的效率。也可以说，反例是课堂的“调节器”，针对学生数学知识不定时的错误认识，适时的反例具有定向纠错，启智升华的功效。所以，在课堂上要运用反例的意识和技巧，便于灵活地把持课堂节奏和学生的知识动向。

关键词：反例；数学；辨析；应用

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-12-0184-01

在初中教学中，反例的构建是教学中一种非常重要的教学手段和方式，反例教学有其极其重要的作用，它可以培养学生的思维的缜密性、提高思维的全面性、培养学生思维的发散性以及思维的创新性等反例等。那什么是反例呢？用命题形式给出一个数学问题，要判断它是错误的，只要列举一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例。如要否定“两个无理数的和是无理数”，只要举出反例（2+■）+（3-■）就可以了。反例和证明推动了数学学科的发展，在数学教学中具有同等重要的作用，反例因其简明、直观、说服力强等突出特点，决定了它在教学中起着不可替代的作用。通过反例教学，可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握，发现并纠正学习中的错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质。在数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于数学教学质量的提高和学生数学素质的培养。下面从三个方面介绍反例在初中数学教学中的特殊作用：

一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念

数学概念教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。例如，在教学“单项式”这个概念时，可以举这样一道例题：■a， -5xyz和■都是单项式，这句话对吗？问题一举出后，学生就展开讨论，有学生说，■a，-5xyz是单项式，■不是单项式；有的学生说，只有■a是单项式，其余两个都不是；还有的学生说，这句话是对的。于是教师可引导学生分析理解“单项式”概念中，“数”与“字母”是积，而不是商。而-5xyz可以改写为-5·xyz，仍是数与字母的“积”，符合概念要求，所以是单项式；■是数与字母的商，所以不是单项式。从而使学生们找到了正确的答案，也深刻理解和掌握了这个概念。

二、构造反例可以澄清是非，纠正错误，否定命题，获得真理

一个判断（或一种理论）的真伪，首当其充的方法选择就是构建反例。这是由反例自身的特点决定的，它具有直观、简明、清晰、说服力强等特点，因而在澄清是非，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。

例如学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，我便举了下面的一个实例：解方程■-■=1：

错解：方程两边同乘以1-x2，得 2-（1-x）=1即x=0，

经检验知x=0是原方程的解。

学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是把x=o代入方程两边相等。于是，我又举了一个简单的分式方程■=3如何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘（方程右边未乘以1-x2），于是学生便迅速地得出正确解法。

通过本例教学，加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。同时，也使学生认识到，解答结果对并不能保证解题过程的正确。（有时得数往往是一种偶然的巧合），收到了理想的教学效果。

三、恰当构建反例，培养学生思维的创新性

反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的创新性。

例如在讲授《实数》一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如π与-π；它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。

在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个无理数的积是否一定是无理数？两个有理数的和或者积是否一定是有理数？一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数？一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数？通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。

在这几年的数学教学中，我对反例教学的感触也非常深刻，我觉得反例教学既有其极其重要的作用，如它可以培养学生的思维的缜密性、提高思维的全面性、培养学生思维的发散性以及思维的创新性等等；也有其在实施的过程中需要注意的环节。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象。因此，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。

参考文献

[1]李国辉.浅谈初中数学课堂教学的有效性[J].新课程（下），2011（06）

[2]田兴勇.浅谈初中数学课堂教学的有效性[J].学周刊，2011（23）

[3]汪金平.新课程理念下初中数学教学初探[J].新课程（中学）. 2010（08）