一道竞赛题的引申

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2008年全国高中数学联合竞赛湖北预赛试题第11题：设P为椭圆＋＝1上的一个动点，过点P作椭圆的切线与O：x2＋y2＝12相交于M，N两点，O在M，N两点处的切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程.

对以上问题我们有以下结论：

定理1设P为椭圆＋＝1上的一个动点，过点P作椭圆的切线与O：x2＋y2＝r2相交于M，N两点，O在M，N两点处的切线相交于点Q，则点Q的轨迹方程为＋＝1.

证明设P（x0，y0），Q（x1，y1），点P在椭圆＋＝1上，

故＋＝1. ①

过P（x0，y0）的椭圆的切线方程为

＋＝1. ②

QM，QN为圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦MN所在直线方程为

xx1＋yy1＝r2. ③

由于②③表示同一条直线，故

＝＝，

得x0＝，y0＝. ④

将④代入①化简得

＋＝1.

所以点Q的轨迹方程为

＋＝1.

类比到双曲线我们有：

定理2设P为双曲线－＝1上的一个动点，过点P作双曲线的切线与O：x2＋y2＝r2相交于M，N两点, O在M，N两点处的切线相交于点Q，则点Q的轨迹方程为

－＝1.

证明设P（x0，y0），Q（x1，y1），点P在双曲线－＝1上，

故-＝1. ①

过P（x0，y0）的双曲线的切线方程为

－＝1. ②

QM，QN为圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦MN所在直线方程为

xx1＋yy1＝r2. ③

由于②③表示同一条直线，故

＝－＝，

得x0＝，y0＝－. ④

将④代入①化简得

-＝1.

所以点Q的轨迹方程为

－＝1.

类似地对于抛物线有：

定理3设P为抛物线y2＝2px上的一个动点，过点P作抛物线的切线与O：x2＋y2＝r2相交于M，N两点，O在M，N两点处的切线相交于点Q，则点Q的轨迹方程为

y2＝－x.

证明设P（x0，y0），Q（x1，y1），点P在抛物线y2＝2px上，

故y＝2px0. ①

过P（x0，y0）的抛物线的切线方程为

y0y＝p（x＋x0）. ②

QM，QN为圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦MN所在直线方程为

x1x＋yy1＝r2. ③

由于②③表示同一条直线，

故＝－＝－，得

x0＝－，

y0＝－. ④

将④代入①式化简得

y＝－x1.

所以点Q的轨迹方程为

y2＝－x.