一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系
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【摘要】一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础。本文假设一维双原子链中向一维单原子链转化时，对振动色散关系变化进行讨论。通过分析阐明了一维单原子链色散关系为一维双原子链的特殊情况，将两者的振动联系起来。
【基金项目】电子科技大学教学改革重点项目资助。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）09-0241-02
一、引言
晶体内原子间存在着相互作用，原子在平衡位置附近做振动，并形成格波。该物理过程与晶体许多性质有密切关系，如对比热、热膨胀、光吸收等[1]。
目前的教材多从经典理论出发[1-3]，在简谐近似的条件下，建立运动方程，分别给出一维单原子和一维双原子的晶格振动的解及色散关系。但是就两者间的内在联系，未作出明确的说明。本文从一维双原子的两个原子质量无限趋近为条件入手，在一维双原子求解色散关系基础上，推导出了一维单原子的色散关系，说明了两者之间的关系。能很好地帮助初学者理解一维原子晶格的振动问题。
二、一维晶格振动色散关系回顾与思考
一维原子链模型如图1所示：
一方面，双原子链中当M=m时应满足图2中的（a）；另一方面如果M不断趋近于m，图2（b）中光学支不断接近声学支，M=m时两支相接，其色散关系就存在两条曲线，显然与图2（a）不同。这也是学生学习中不易理解的难点。
三、分析与讨论
在简谐近似下，对于双原子链振动，得方程组：
其中，A、B分别为m、M原子的振幅，q为格波波矢。
求解得：
当M无限趋近m时，原子质量无限趋近既可以认为是同一原子，即可取M=m，将方程组（1）和式（2）、（3）化简为
（5）、（6）函数为周期函数，周期为，其任一周期可表示为 q∈[-，+]，k∈z，又由于ω、ω+均不小于0，按k值讨论得到色散关系图如图3所示，虚线以上曲线为光学支，以下部分曲线为声学支。
进一步讨论：
1.当k为偶数时
将（5）带回方程组（1）可得：
此时2βcos（qa）不恒为零，即只能B+A=0。
所以有A=-B（恒成立），与振幅A、B必须同时不小于零相矛盾，故ω+表示的曲线当舍去。
2.当k为奇数时
将（6）带回方程组（1）可得：
综上可得，在中央布区和偶数布区里的光学支部分当舍去，奇数布区里的声学支部分当舍去。
画出讨论后的ω ～q 关系图如图4。其中虚线表示舍去的不满足题意的部分曲线。
可以得到以下结论：当一维双原子链中M=m时，
1.一维双原子链光学支和声学支之间的频率禁带消失；
2.新的曲线是周期函数，周期为，其取值范围相同[0，]，且在第一布里渊区内两支色散关系曲线在q=±处相交。
3.色散关系曲线中实线由声学支和光学支的一部分组成，正好与一维单原子色散曲线重合，双原子链色散关系图变为单原子链关系图。
四、结语
本文以原子间作用简谐近似为前提，针对一维双原子的两个原子质量无限趋近的情况下，如何理解色散关系与一维单原子链色散关系之间的联系的问题，在一维双原子求解色散关系基础上，推导出了一维单原子的色散关系，将两者色散关系联系起来。
参考文献：
[1]杨亚培，张晓霞，刘爽等. 光电物理基础. 电子科技大学出版社，成都：2009
[2]曹全喜，雷天明等. 固体物理基础. 西安电子科技大学出版社，西安：2001
[3]胡安，章维益. 固体物理基础. 高等教育出版社，北京：2011