从不同角度理解机械能守恒定律

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机械能守恒定律内容：在只有重力或弹力做功的情形下，物体的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。机械能守恒定律是力学中的一条重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。解决某些力学问题时，从能量的观点来分析，应用机械能守恒定律求解，往往比较简便，应用机械能守恒定律解题，首先要对它的本质有深入、全面的理解，下面将从三个不同的角度理解机械能守恒定律。

一、从守恒的角度理解

在所研究的过程中，任选两个不同的状态，研究对象的机械能必定相等，即E2=E1。通常我们关心的是一个过程的首、末两状态，此式也可理解成首、末两状态机械能相等，但应注意的是，首、末两状态机械能相等，不能保证研究对象在所研究过程中机械能一定守恒，只有在过程中任选一个状态，其机械能都保持恒定值时，研究对象的机械能才是守恒的。

例1. 质量为m的物体沿光滑的轨道滑下，轨道的形状如图1所示，与斜轨道相接的半圆轨道半径为R，要使物体沿半圆光滑轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低处多高的地方由静止开始滑下？

解析：物体在沿光滑的轨道滑动的整个过程中，只有重力做功，故物体机械能守恒，设物体应从离轨道最低点h高的地方开始由静止滑下，取轨道的最低点处水平面为零势能面，物体在运动到半圆形轨道的最高点时速度为v，根据机械能守恒定律得mgh=mv2+2mgR

要使物体恰好能通过半圆轨道的最高点，条件是

mg=m

由以上两式得h=2R+=R

二、从转化的角度理解

在所研究的过程中，研究对象（或系统）动能的增加量等于势能（包括重力势能和弹性势能）的减少量；反之，研究对象（或系统）动能的减少量等于势能的增加量，即Ek=-Ep。

例2. 如图2所示，跨过定滑轮的轻绳两端各系一个物体，B物体的质量是A物体质量的一半，在不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高度处由静止开始下落，且B物体始终在平台上，若以地面为参考平面，当物体A的动能与其重力势能相等时，物体A离地面的高度是多少？

解析：若选A为研究对象，在下落过程中，除重力做功外，还有绳子对它的拉力做负功，机械能不守恒，若以A、B系统（包括绳）作为研究对象，绳子拉力对A做负功与对B做正功的代数和为零，对系统而言只有重力做功，系统的机械能守恒，如果从能量转化的观点理解这一系统的机械能守恒，应是A物体减少的重力势能mAg(H-h)等于系统增加的动能(mA+mB)v2，即mAg(H-h)=(mA+mB)v2 （1）

当A物体的动能和重力势能相等时有mAgh =mAv（2）

根据题意有mA=2 mB （3）

由（1）（2）（3）式求得h =H

三、从转移的角度理解

系统某一部分机械能减少了多少，其它部分的机械能就增加了多少；反之亦然，可用E1=-E2表示，这种表述形式适用于某一系统机械能守恒的表述。也可理解为系统内某一物体动能（或势能）减少了多少，该物体的势能（或动能）以及系统内其它物体的机械能就要增加多少。简单地说，在所研究的系统内，机械能有减就有增，减少的量值应与增加的量值相等。

例3. 如图3所示，一轻杆可绕O点的水平轴无摩擦地转动，杆两端各固定一个小球，球心到O轴的距离分别为r1和r2，球的质量分别为m1和m2，且 m1>m2，r1>r2，将杆由水平位置从静止开始释放，不考虑空气阻力，求小球m1摆到最低点时的速度是多少？

解析：以轻杆两端的小球m1、m2组成的系统为研究对象，在m1摆下的过程中系统机械能守恒。m1摆到最低点时，其重力势能减少了m1gr1，动能增加了m1v21，在此过程中，m2球的动能、势能分别增加了m2v22和m2gr2。根据机械能守恒定律能量转移的观点有E1=-E2，m1减少的重力势能应等于m1增加的动能和m2增加的动能和重力势能之和，列出表达式为

m1gr1=m1v21+m2v22+m2gr2 （1）

根据m1、m2的角速度ω相同，有v1=r1ω，v2=r2ω，即=

所以m1摆到最下端时的速度为v1=（1）

也可将（1）式写成如下形式

m1gr1-m2gr2=m1v21+m2v22 （2）

（2）式中左端表示系统重力势能的减少量，右端表示系统内动能的增加量，该式从能的转化角度反映了机械能守恒定律。

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