基于CVaR与平均离差波动限制的投资组合模型
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摘要： 提出了一种基于cvar的投资组合模型，对组合资产收益率不做正态分布假设，用MAD模型作为一个约束条件，实现波动性度量限制，用上凸效用函数作为一个约束条件，表示风险资产交易费用。实验结果表明，该模型满足实际投资要求，符合实际投资规律，与M-V模型和原始CVaR模型相比具有波动性和风险价值最小化的优势。
Abstract： This paper puts forward a portfolio model based on the CVaR model which doesn't make normal distribution hypothesis on profit of portfolio， takes MAD model as a limit function to realize the measurement limit of volatility， and makes use of convex utility function to express transaction costs of risk assets as a constraint condition. The experimental results show that the model satisfies actual investment requirements， conforms to the actual investment law， and compared with M-V model and original CVaR model， it has advantage of volatility and minimum risk value.
关键词： 投资组合；CVaR模型；M-V模型；MAD模型
Key words： portfolio；CVaR；M-V；MAD
中图分类号：F224.3 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）31-0008-02
0 引言
投资组合的根本目的是指导投资者使用合理的分散投资方法，使收益与风险达到平衡。马克维茨建立了均值-方差M-V模型[1]，阐述了风险和组合期望收益的关系。该模型的方差波动既包含了损失，也包含了收益，但收益的波动不应该计入损失，其次波动性只能描述风险的部分特征。今野和山崎提出了平均离差模型，将离散情况下的优化问题转化为线性优化问题，通过度量波动性来衡量风险大小，但无法计算投资组合损失的均值。JP摩根公司提出了一种衡量资产下行风险的的方法VaR（Value at Risk），可在整体一致的框架内仅用一个易于理解的数字来度量由许多复杂工具构成的组合市场风险，但无法满足一致风险测度理论[2]。洛克菲勒和尤尔约瑟夫提出了CVaR模型，当资产收益率服从正态分布时，可以很好地描述投资组合的有效前沿，但低估了实际重大损失的风险。另外，虽然该模型满足一致风险度量理论且符合凸性公理，但无法控制投资组合的波动性风险。
文章提出一种改进的CVaR的模型，将MAD模型作为波动性约束条件加入到CVaR模型中，从而使CVaR模型可对波动性加以控制，将交易费通过上凸效用函数表示并写入约束条件中，通过历史模拟法求解CVaR模型，从而避免因数据分布后尾偏大可能造成的重大损失。
1 改进的CVaR模型
假设未来收益符合过去J个交易期的分布且资产无限可分，各资产不允许卖空且含交易费用，有N种资产，第i种资产的分配比例为xi（i=1，2，…，N），x1+x2+…+xN=1，在第j期、第i种资产的收益率为rij（i=1，2，…，N；j=1，2，…，J），第i种资产的平均收益率为■，第i种资产的交易费率为ki（i=1，2，…，N），损失函数为各资产收益的相反数为f（xij，rij）。
目标函数：
CvaR模型是在一定置信度下和持有期内，投资组合的损失超过给定VaR值的情况下该投资组合损失的平均值。它反应了超额损失的平均水平，其数学表达式为：
CVaR=E[f（x，r？叟VaRβ）]
=VaRβ+E[f（x，r）-VaRβ│f（x，r）？叟VaRβ]（1）
由CVaR原始目标函数可以推导出其离散形式为
CVaRβ=VaRβ+■■（f（x，r）-VaRβ）■（2）
约束条件：
限制性卖空约束各资产的投资比例权重xi∈[0，1]（i=1，2，…，N）。
波动性限制用平均离差模型实现，其历史模拟法的表示为：
minδ■=■*■■x■（r■-■）（3）
一般来说，投资者对待风险资产要求满足上凸效用函数，即函数的一阶导数大于零，二阶导数小于零。由于负指数函数满足上述要求，因此选取式（4）作为交易费函数。
E（u）=1-e■（4）
将交易费代入式（4）得式（5）
E（u）=1-e■（5）
minCVaR■=VaR■+■■（f（x，r）-VaR■）■
s.t：x■=11？叟x■？叟0■*■■x■（r■-■）
2 实验结果与分析
文章实验使用文献[3]中的数据。各资产交易费率见表1。文献[3]的收益率表和表1得到净收益和净平均收益率。
在M-V模型、原始的CVaR模型和改进的CVaR模型上的实验结果见表2和表3。
表2给出了置信度为95%以及投资组合期望净收益率分别为0.1080、0.1288、0.1303时，使用改进CvaR和M-V作为风险度量模型的投资组合权重分配。从表2可以看出，在收益率相同的情况下，使用改进的CVaR模型的权重波动性小于使用M-V模型的权重波动性。其原因是改进的CVaR模型使用MAD模型作为波动性约束条件。此外，随着期望净收益率的提高，投资组合波动性随之加大，这与现实投资情况基本相符合。
表3给出了期望净收益为0.1288以及投资组合置信度分别为90%、95%、99%时，使用改进前后CVaR作为风险度量模型的投资组合权重分布。从图表6可以看出，在置信度相同的情况下，改进的CVaR模型的权重分配损失期望小于原始的CVaR模型的权重分配损失期望。其原因是改进CVaR模型使用更加符合投资者投资心理的上凸效用函数来表示交易费用，通过约束函数加强了对目标函数的控制。此外，随着对置信度的不断提高，投资组合的期望损失随之增加，这与表2的结论基本相符，满足现实投资情况。
3 结论
文章提出了一种基于CVaR的投资组合模型，使用MAD模型作为投资组合波动性限制条件，采用上凸效用函数表示交易费率，使CVaR模型具有更强的实用性。另外，使用历史模拟法计算CVaR模型，从而避免了对数据正态分布的假设。实验结果表明，该模型有助于提高投资效率，降低风险，具有较好的应用前景。
参考文献：
[1]Marko witz H .Portfolio Selection[J] .The Journal of Finance，1952，（7）：77-91.
[2]林志炳，徐保光.一致性风险度量的概念、形式、计算和应用[J].统计与决策，2006，3：6-9.
[3]刘善存，汪寿阳，邱蔻华.一个证券组合投资分析的对策论方法[J].系统工程理论与实践，2001，（5）：88-92.