拾级而上,水到渠成
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苏教版教材四年级下册第一单元“三位数乘两位数”练习一中有这样一道思考题：
用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？换五个数字再试一试。
教参中建议，本道题可以帮助学生体会两个数相乘积的大小与乘数大小的关系，但思考有一定难度，需要引导学生在分析、比较、实验和调整的过程中逐步获得结论。同时给出思考过程：要使乘积最大，两个乘数最高位上应该分别是4和5，而三位数的十位应该是3或2；因为3×5>3×4，2×5>2×4，所以两位数十位上应该是5，三位数百位上应该是4；又因为43×5>42×5，所以三位数十位上是3。然后再通过试验和调整，可以得出使乘积最大的两个数是431和52。而要使乘积最小，两个乘数最高位上应该是1和2，而三位数十位上应该是3或4，通过试验和调整，也可以得出乘积最小的两个数是245和13。
一、初次教学
在学生读懂题目的基础上，我让学生首先思考什么时候积最大，自己动笔算一算，然后汇报交流。很多学生都想的是500多乘40多，因为三位数越大乘积就越大，也有部分同学反驳道，不一定！不管5是在三位数的百位还是在两位数的十位，他们都是20000多。经过提醒，那么最高位应该分别是4和5，这对于学生的理解能力是可以达到的。但接下来，在确定两个乘数十位上是几时学生并没有出现教参所给的思路：“三位数的十位应该是3或2；因为3×5>3×4，2×5>2×4，所以两位数十位上应该是5，三位数百位上应该是4；又因为43×5>42×5，所以三位数十位上是3。”一方面是这种方法强调技巧性“通过三位数的十位和两位数相乘”来判断两个乘数的百位，另一方面学生受到思维定式的影响（尽量凑最大的三位数532或者432），过早地进入实验和调整的程序，带来了计算量的增加和结果的偶然性。不仅花费了大量的时间，而且错误率也极高。
二、初次思考
学生为什么有这么高的错误率，而且教参中给出的方法学生为什么想不到，难道是教参的方法太抽象，超出了学生的能力？还是因为学生缺乏严密做题习惯，只凭经验解题？我们知道，对于小学生来讲，学习更多的时候是一种同化，当遇到陌生的题型时就努力寻找相似或相近的知识经验迁移过来。所以在课堂上学生出现“尽量凑最大的三位数”也不足为奇了。另外，教参的编写是以成人的思考角度来解决问题的，这也无形之中给学生的思考带来了难度！既然学生的学习是一种上位学习同化下位学习的过程，那么教学中，需要教师适时铺垫，分散难点，各个击破！
三、再次教学
铺垫一：把3、5、7这四个数字组成一个三位数和一个一位数。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？
【设计意图】从比较简单的问题入手，学生较容易感知，要么是531×7，要么是731×5，进行简单判断，3×7>3×5，通过本题教学使学生明白两个数的最高位肯定是最大的两个数字，然后三位数的十位和一位数相乘进行估算，这样也渗透了估算的方法。
铺垫二：李大叔准备用20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，你能帮李大叔设计这个养鸡场吗？
学生通过以前所学知识能够很快列出表格：
【设计意图】在长和宽的和一定的情况下（10米），长和宽越接近，积就越大。
铺垫三：把1、3、5、7这四个数字组成两个两位数位数要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？
【设计意图】根据前面所具有的经验，53+71=124，51+73=124，在和一定的情况下，53与71相差18而51与73相差22，所以肯定是53×71的得数最大。在教学过程中，学生还进一步概括出：大配小、小配大。同理求积最小时正好反过来。课堂上除了大多数学生想到用铺垫二的方法外，也有部分学生是这样想的。
53×71=51×71+2×71
51×73=51×71+2×51
虽然学生还没有学过乘法分配律，但会根据乘法的意义进行朴素的描述：53个71分成51个71与2个71的和；51个73分成71个51与2个51的和。
当学生经历了这一系列有目的活动和探索的过程后，教师出示思考题：
用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？换五个数字再试一试。
师：根据上面我们所学的知识，你有什么启发？
学生很快想出：我们已经会求两位数乘两位数的题目，这道题虽然是求三位数乘两位数，但我们可以先按照前面的思路，先求两位数乘两位数（最小的数字1不看）。52×43，然后再想数字到底是在52的后面还是在43的后面。
521×43=520×43+1×43 52×431=52×430+1×52
显然是52×431最大！
（求最小时，与求最大思路相似。本文略）
四、再次反思
很多时候，对于一些稍复杂的题目，当我们教师以成人的视角进行解读和思考时，未必适应小学生的认知和思考的习惯。此时，教师要有意识地拓一拓、联一联，由浅入深，让学生看到知识的来龙去脉。这样有一个好处，因为是从简单的题目入手，起点低，学生容易理解，随着问题的不断深入，又能形成强烈的认知冲突和求知欲，所以能取得意想不到的效果。但考虑到学生认知水平的差异性，教师从数学知识内在联系入手，从学生思维原点出发，对教材进行“再加工”“再创造”，使我们的学生在探索过程中一步步走向有效，一步步走向深入！
（作者单位 江苏省南京市江宁实验小学）