向量法在生活中的应用

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【摘要】本文主要是介绍向量法在实际生活中的应用，通过举例、分析、转化、求解、点评，每一过程都充分体现出了向量法在生活当中所起到的重要作用，为我们生活当中的一些实际问题提供了解决方法。

【关键词】空间向量法；现实生活；应用

【中图分类号】 G635 【文献标识码】

Vector Methods in the Real-life’s Application

Abstract： This paper mainly introduces several kinds of vector methods in the real-life’s application. It demonstrated the importance of the vector space method in the life by giving examples， analyzing， transforming， solving， commenting， and step by step； it can provide the solutions to some problems in the life.

Keywords： vector methods； real-life； application

向量是一个同时具有几何和代数双重身份的概念，它不仅具有良好的分析方法和完整结构，还通过向量的运用及对传统问题的分析，能更好地帮助学生建立代数与几何的联系。在学习立体几何以及生活中的相关应用使我们知道向量是解决这些问题所不可缺少的工具，同时向量的出现解决了以往传统解立体几何的困难，也大大降低了立体几何的难度。我们学习了向量的相关内容如：利用空间向量证明空间垂直及平行；利用空间向量求异面直线的夹角，二面角等空间角的问题；利用空间向量求空间距离问题。并且在学习物理学的过程中我们还了解到了向量在生活中的一些应用，让我们了解到了空间向量不仅是在立体几何中有很多的应用，同时在生活中也有广泛的运用。如文[1-10]，就介绍了一些利用空间向量解立体几何与实际生活的几个典型问题，接下来本文主要阐述的就是空间向量法在生活中的相关应用。

1、向量法在位移中应用

在物理学中我们就学到了位移和速度，位移和速度都是矢量，即有大小也有方向，因此可以将该问题转化为向量问题，然后根据向量的知识求解，下面介绍的就是向量在位移与速度上的应用。

例1 以某城市的人民广场的中心为原点建立直角坐标系，正东方向为x轴，正北方向为y轴，每个单位表示实际路程50米，某人步行从广场入口A（1，0）出发，始终保持同一方向匀速前进，5分钟时路过火车站C，10分钟后到达博物馆B（-2，4），求：

（1）此人的位移向量（说明此人位移的距离和方向）；

（2）此人行走的速度向量；

（3）火车站C点相对于广场中心所处的位移。

分析：位移向量等于终点坐标减去起点坐标则可得出；速度等于位移除以时间即可得出；C处根据向量的坐标运算和三角函数的公式求解。

解：（1） ， ，即此人的位移距离为 米， 。

（2）t=15分钟 小时， 。

（3）t=5分钟 小时， ，即有 ， 即火车站C处在广场中心正北方向。

本题通过向量来求解速度与位移，体现出的向量在求解该题较传统方法有很大的优越性。

2、向量在力的平衡上的应用

力学是物理学当中重要组成部分，同时力也是矢量，力的合成可以转化成向量的和，因此可以根据向量的运算来求。下面介绍的是向量在力的平衡上的应用。

例2 我国渔船在黄岩岛附近海域作业时，遭遇不明国家的船只的非法拦截，就向本国船只发出求救信号，我国最先进的渔政船310，接收到求救信号，拦截地点在渔政船的正东方向，此时水速为20km/h且方向为北偏东60°，船速为60km/h，问该船如何航行才能最快的解救被拦截的船

分析：渔政船在水中行驶的速度由两个速度决定：水流速度20km/h且方向为北偏东60°，船速为60km/h。本题求如何最快的解救被拦截的船，即如何航行能直接到达拦截地，只需合速度保持正东方向，即确定船速方向即可。

解：建立坐标系，水流速度v1=20km/h，船速度v2=60km/h。船行驶的速度为v，即 。由题意可得 的坐标为（20cos30°，20sin30°） ，为了能最快到达拦截地，设船速方向为南偏东θ， 。则船的行驶速度 ，即10-60cosθ=0。

得 ，所以保持船行驶反方向为南偏东80.4°角即可。

利用向量解决生活中的相关问题是，先要建立数学模型，建立直角坐标系，再根据向量的坐标运算得出答案。

3、向量数量积在生活其他方面的运用

向量数量积是向量运算的一种，贯穿了整个向量内容，在生活中也有相关应用，下面来介绍一下生活中是如何应用到向量的数量积的。

例3 某同学购买了10支圆珠笔，15支钢笔，圆珠笔的价格为3元，钢笔的价格为5元，将购买圆珠笔，钢笔的数量10，15构成数量向量 ，将价格3，5构成价格向量 ，这向量 与 的数量积表示什么？

分析：将两向量的数量积表示出来进行观察，从而得出结果。

解： ，而由题意可知3×10=30为该同学买圆珠笔所花的钱数，5×15=75为该同学买钢笔所花的钱数，3×10+5×15=105为该同学买笔所花的总钱数，即向量 与 的数量积表示该同学买笔所花的总钱数。

本题将生活中的事件转化为向量问题，通过向量的数量积立马解决购买所用的总钱数，简单明了，让人容易接受。且这种方法好可以推广到其他商品的构建多元向量，即可轻松解决。

向量法在立体几何及生活中有着广泛的应用。本文通过举例求解，展示一下如何用空间向量法求解现实问题，在解题过程中，充分体现出了向量法在立体几何的研究当中所起到的重要作用，且求解的过程中让我们掌握了多种利用向量法结题的方法，通过对每一题的解答过程进行点评，从解题过程中可以看出空间向量法与传统方法进行比较具有很大的优越性。通过介绍向量法在生活中的相关应用，让我们学会该怎样通过建立数学模型将生活中的问题转化为向量问题在利用向量的知识进行求解，从而得出结果。

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