电磁感应中的导轨模型

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一、双杆+导轨的基本特点和规律

M、电阻为R的导体始终没有碰撞.

（1）电路特点

两导体同方向运动，开始电动势较大的等效为发电机（电源）；电动势较小的等效为电动机.

（2）电流特点

导体m进入磁场切割磁感线，产生感应电动势，回路中形成感应电流；同时，在安培力的作用下，导体M也同向运动，产生反电动势. 根据欧姆定律，电路中的电流[I=Blvm-BlvMR+r=Bl（vm-vM）R+r]

电流随两导体的相对速度[vm-vM]的减小而减小. 当[vM=0]时电流最大. 当vm=vM，电流I=0.

（3）安培力、加速度特点

安培力对导体m为阻力，对导体M为动力，在轨道宽度不变的情况下，两边的安培力大小相等，方向相反即外力之和为零，系统动量守恒.

安培力的大小[FB=BIl=B2l2（vm-vM）R+r]，随两导体的相对速度vm-vM的减小而减小. 当vM=0时安培力最大. 当vm=vM，安培力FB=0，由牛顿第二定律知：加速度a随安培力的变化而变化.

（4）速度极值

由机械能守恒定律，导体[m]进入水平轨道时速度的最大值[vmax=v0=2gh]

当两者达到共同速度时，导体m的速度达到最小值，导体M的速度达最大值. 根据系统动量守恒，有[mv0=（m+M）v，][v=mv0m+M.]

（5）全过程系统产生的热量

当相对速度为零，即[vm=vM=v]时，电流为零，回路不再消耗电能――两导体开始以共同速度v匀速运动，全过程中由能的转化和守恒规律，有[mgh=12（m+M）v2+Q]

得系统产生的热量[Q=mgh-12（m+M）v2=Mmghm+M].

[ 图2]例1 两根相距为[L]的足够长的金属直角导轨如图2放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面.质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数μ，导轨电阻不计，回路总电阻为[2R]，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下做匀速运动，设运动过程中金属细杆ab、cd与导轨接触良好，重力加速度为g，求：

（1）ab杆匀速运动的速度v1；

（2）ab杆所受拉力F；

（3）ab杆以v1匀速运动时，cd杆以v2（v2已知）匀速运动，则在cd杆向下运动h过程中，整个回路中产生的焦耳热为多少.

解析 （1）[ab]杆向右运动时，[ab]杆中产生的感应电动势[E=BLv1]，方向为[ab]，[cd]杆中的感应电流方向为[dc]，[cd]杆受到的安培力[F安=BIL=BLBLv12R=B2L2v12R]①， 方向水平向右

[cd]杆向下匀速运动，有[mg=μF安] ②

解①②两式，[ab]杆匀速运动的速度为[v1=2RmgμB2L2]

（2）[ab]杆所受拉力

[F=F安+μmg=B2L2v12R+μmg=（1+μ2μ）mg]

（3）设[cd]杆以速度[v2]向下运动[h]的过程中，[ab]杆匀速运动了距离[s]，有[sv1=hv2=t]，得到[s=hv1v2]

整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功[Q=F安s=B2L2v1s2R=B2L2v12R?hv1v2=2（mg）2hRμ2v2B2L2]

二、“电容、杆+导轨”的基本特点和规律

1，对电容器充电；然后掷于位置2，让电容器放电.

1. 电流特点

当电容器对导体放电时，导体在安培力的作用下开始向右运动，同时产生阻碍放电的反电动势，使电流减小直到电流为零为止.

2. 运动特点

导体在安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，当电流为零时，速度达到最大值，然后做匀速运动.

3. 匀速运动的条件

电流[I=0]，即导体的反电动势等于电容器的电压U=E反=Blvm，电容器的充电电压为E，放电过程中电压降低；导体在加速过程中速度增加，电动势增大，当导体中的反电动势等于电容器的电压时，电路中电流为零，导体开始以最大速度vm匀速运动.

4. 最大速度的计算

根据电容器的充电电量为[Q0=CE]，放电结束时的电量为Q=CU=CBlvm，电容器放电结束时的电量

ΔQ=Q0-Q=CE-CBlvm

根据动量定理，有mvm=ΣFΔt=ΣBilΔt=BlΔQ

导体的最大速度为[vm=BlCEm+CB2l2]

根据动量定理和动能定理，安培力对导体的冲量

[I=mvm=mBClEm+CB2l2]

安培力做的功[W=12mv2m

] 放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器R）、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关K相连. 整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B. 一质量为m，电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上. 已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R0，不计导轨的电阻.

（1）当K接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值R多大？

（2）当K接2后，金属棒ab从静止开始下落，下落距离s时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落s的过程中所需的时间为多少？

（3）先把开关K接通2，待ab达到稳定速度后，再将开关K接到3. 试通过推导，说明棒ab此后的运动性质如何？求ab再下落距离s时，电容器储存的电能是多少？（设电容器不漏电，此时电容器还没有被击穿）

解析 （1）由[BIL=mg]，[I=ER+r]，得[R=EBLmg-r]

（2）由[mg=B2L2vR0]，得[v=mgR0B2L2]

由动量定理，有[mgt-BILt=mv]，其中[It]=[q=BLsR0]

得[t=B2L2smgR0+mR0B2L2]（或[B4L4s+m2gR02mgR0B2L2]）

（3）K接3后的充电电流

[I=ΔqΔt=CΔUΔt=CBLΔvΔt=CBLΔvΔt=CBLa]

[mg-BIL=ma]

得[a=mgm+CB2L2]=常数，所以[ab]棒的运动性质是匀加速直线运动，电流是恒定的

由[v22-v2=2as]，根据能量转化与守恒，有

[ΔE=mgs-（12mv22-12mv2）][=mgs-m2gsm+CB2L2]