椭圆及其标准方程教学设计

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一、设计理念

关注学生的发展，构建有效课堂。站在学科的高度，从整体和联系的观点，渗透新课标理念设计本节课，根据高中数学教学实际及本节课的内容特点，本课时的教学先从日常生活中的实例入手，返璞归真，展现了“数学源于生活，又高于生活”的本色。教学中，教师要树立正确的教学观，处理好教学中预设与生成的关系，体现了数学逻辑推理的高度抽象性，让学生初步感知数学的简约与奇异美，实现学生主动学习数学的美好愿望。

二、学情分析

根据学生已掌握了“圆及其标准方程”的知识，针对高二学生认知特点和接受能力及思维发展规律的特点，本课先介绍”椭圆及其标准方程”的内容,再给出除课本上推导椭圆标准方程的方法外。另探究了三种方法，最后引出椭圆的第二、三种定义，使学生可以达到“跳一跳摘到桃子”的良好教学效果，培养学生的探究能力，防止只重结果而轻过程的现象发生。经调查、研究此设计是合理可行的。

三、教学目标

(一)知识与技能的目标

1.掌握椭圆的画法和定义；2.会推导椭圆的标准方程 ；3.正确理解椭圆的标准方程。

（二）过程与方法的目标

通过本节课的教学，渗透类比化归等重要的数学思想，有助于加强学生的数形结合意识，有益于提高学生的逻辑推理与分析探究能力。

（三）情感态度价值观目标

通过由圆类比椭圆，动手操作，让学生亲自体验数学的简约，感受数学的和谐，奇异美，有利于培养学生用联系和发展的辩证观点看待问题，有利于激发学生“学好数学”的情趣，增强“玩好数学”的信心，培养学生发现规律，寻求规律，认识规律并利用规律认识事物运动的本质。

四、教学重点

椭圆的定义及其标准方程。

五、教学难点

椭圆的标准方程的推导以及比较复杂的根式的化简。椭圆是圆及其标准方程的延伸，又是求曲线的方程应用，对双曲线、抛物线及其标准方程具有引领作用。因而本节课起承上启下的重要作用，所以务必要做好过渡。

六、教学方法

讲授法与探究法相结合

七、教具准备

多媒体课件两个：（一）第八章章头图：先做两个圆锥（顶对顶，上面的圆锥是倒立的，且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线），然后用于圆锥曲线成不同角度的平面截圆锥，得到椭圆、双曲线、抛物线等，给学生一个直观的印象，是学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识。（二）倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线、油罐车横断面轮廓、手表的表面、眼镜片等。同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条（约10cm长，两端各结一个套），图钉两个。教师准备一个无弹性的细绳一条（约50cm,两边各结一个套）图钉两个，一人准备一张硬投影片一张。

八、教学过程

（一）创设问题情境引入新课

1．观察课件。举例：油罐车横断面的轮廓、眼镜片等。 上述例子是从学生刻印在脑海中的原有直观材料出发，得到“椭圆”的直观定义。下面再看一下圆锥形水杯的水面界线是椭圆，可数学化地提出问题，即：为什么这些边界线是椭圆？

2．我们以前学过圆，请同学们回忆一下圆的定义。学生1：“平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。 ”教师：“怎么画圆的呢？”同学们画画。学生动手画圆（用预先准备好的材料）。 教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹。”说成“圆是动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。”行不行？ 学生：（齐声）“行。” 教师：“现在把这根绳子的两端分别系在两颗图顶上，并分开固定在两个点上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？ ”学生：椭圆。 教师：“看椭圆正是一个压扁的圆。”演示课件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱桥，地球的运功轨迹等，请同学们画你们日常生活中见到椭圆的实际例子。

数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学的认知结构，并使自己得到全面的发展，动手画图及其操作过程中的整个视角意象。这样可以促进学生良好的数学认知结构的形成，满足后续学习需要。

（二）定义椭圆写其方程，体会数学的严谨、简洁

据上述画椭圆的过程，同学们自己创造“椭圆”的定义，出现了以下两种情形。

情形1：与两定点F1、F2距离的和等于常数(=｜F1F2｜)的点的轨迹是椭圆。

情形2：空间内与两定点距离和等于常数(>｜F1F2｜)的点的轨迹是椭圆。

对情形1的否定，学生很容易想到“线段F1F2上的任意点的集合”的特例。对情形2可以联想到椭球面，从而经修改上述两种情形，从而准确给出椭圆的定义。定义：椭圆是平面上到两定点距离之和为常数(>｜F1F2｜)的点的轨迹，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。教师黑板板书：请同学们思考为什么上面的常数大于｜F1F2｜？（答略）

师生共同总结：设椭圆上的任意点为P记,｜PF1｜+｜PF2｜=2a，｜F1F2｜=2c则当2a>2c时，轨迹是椭圆；当2a=2c时，轨迹是一条线段；当2a

拓展思考：■大小与椭圆的扁圆程度有何关系?（分当a不变，变c和当c不变，改变a……）

回忆圆的标准方程，如何给出椭圆的标准方程，先引导同学们看如何建系，求其方程，可能出现如下三种情况。1:以F1为原点，F1F2为x轴，过F1垂直于F1F2的直线为y轴。2：以F1F2为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴。3：以F2为原点，F1F2为x轴，过F2垂直于的直线为y轴。

三种情况哪种优呢？请同学们感觉一下，大多数同学认为第三种好，能体现数学的对称美，猜得好，下面以第二种情形求其方程，看到底方程美在哪里？写出点P的集合，（按求曲线方程的一般步骤求解），设P(x,y)是椭圆上任意一点，它的集合是M=｜PF1｜+｜PF2｜=2a写出方程■+■=2a。将这个方程移项后两边平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a■+（x-c）2+y2，整理得 a2-cx=a■上式两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由椭圆的定义可知，2a>2c, 即a>c, 所以a2-c2>0令a2-c2=b2,其中b>0，代入上式，得 b2x2+a2y2=a2b2,两边同除以a2b2，得■+■=1（a>b>0）这个方程叫做椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0)，F2(c,0),这里c2=a2-b2,如果使点F1,F2在y轴上，点F1,F2的坐标分别为F1（0，-c），F2(0,c),a，b的意义同上，那么所得方程变为■+■=1（a>b>0）这个方程也是椭圆的标准方程。下面请同学们思考：a2-c2=b2的几何意义，并画图说明。（略）

九、作业布置

课本120页习题8.3 1，2，3，4【板书设计】（略）

【教学反思】

1.情境创设有利于调动学生学习的积极性，课堂比较活跃，也鼓励了教学热情，树立了信心，树立正确的教材观，既要预设又要生成，用教材教而不是教教材，同时还要尊重教材。2.本节课将传统教学媒体与现代化教学媒体有机结合在一起，促进了学生学习的积极性和主动性。3.通过本节课提高了数学的审美情趣，站在学科的高度，用整体和联系的观点开发的一节课。4.数学教学既要注重结果，更要注重过程，是过程和结果并举。5.课堂中若能注意点拨学生体会优美和谐的知识结构，能大大提高学生的数学应用能力和数学创新能力，提高椭圆教学的质量。

（责编 张敬亚）