例谈解题分析的教学设计
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江苏大丰高级中学224100
摘要：解题分析的过程是解题教学的关键和核心，解题分析的教学设计必须基于学生知识结构和认知水平；解题分析应从学生熟悉的地方开始；解题探索应该从特殊的、简单的情形入手；解题分析应该联系学生学过的知识、方法进行；解题思路应该在解题方向的不断探索和调控中生成；解题分析所用之题必须具有一定的针对性和概括性；解题分析的教学设计必须具有一定探索性、师生的互动性及学生的思维表现.
关键词：解题分析；教学设计；解析设计；解题探索；解题思路
解题分析的过程是解题教学活动的关键和核心，它不仅表现为数学知识和思想方法的运用过程，更多地表现为对题意的审读、对条件和结论的分析；表现为对解题方向的寻求、解题思路的探索；表现为思维策略的选择、运用和思维过程的控制、调整. 解题分析的教学设计是基于数学课堂教学中学生知识结构和认知水平的. 下面笔者结合几个实例谈几点个人的体会和看法，以求教于同行.
[⇩]解题分析应从学生熟悉的地方开始
题目的题设条件中始终存在学生相对熟悉的一些信息，不妨以熟悉的信息为出发点，启动学生的思维，逐步寻找解决问题的办法.
例1设f（x）是定义在R上的偶函数，且图象关于x=2对称，已知x∈［－2，2］时，f（x）=－x2+1，求x∈［－6，－2］时，函数f（x）的解析式.
解析设计1
师：由条件“f（x）是定义在R上的偶函数”推知函数f（x）的图象有什么特征？
众生：关于y轴对称.
师：题设又告诉我们“图象关于x=2对称”，说明函数f（x）的图象有两条对称轴，能否据此画出函数的大致图象呢？请同学们试一试.
（众生动脑动手）先画出函数f（x）在区间［－2，2］上的解析式，再根据两条对称轴向两侧扩展，可得出函数f（x）在R上的示意图，如图1.
[x=2][1][-2][-6][x][y][O]
图1
师：观察图1，能否由图1求出函数f（x）在x∈［－6，－2］上图象呢？
生1：以顶点为（－4，1）且过点（－2，－3）的抛物线，利用二次函数的“顶点式”则由y=a（x－m）2+n可求得f（x）=－（x+4）2+1，x∈［－6，－2］.
生2：由函数f（x）=－x2+1，x∈［－2，2］图象向左平行移动4单位可得x∈［－6，－2］上的图象，从而可得f（x）=－（x+4）2+1，x∈［－6，－2］.
解析设计2
师：题设告之函数f（x）在区间［－2，2］上的解析式，而求解目标是求函数在［－6，－2］上的解析式，这两个区间相差4个单位，若设x∈［－6，－2］，则必有（x+4）∈［－2，2］，进而有f（x+4）=－（x+4）2+1，接下来我们只要弄清f（x+4）与f（x）的关系，问题即解决. 请同学们研究一下它们的关系.
让学生们思考、讨论几分钟后，教师可适当提示一下.
f（x）是定义在R上的偶函数⇔f（－x）=f（x）.①
图象关于x=2对称⇔f（2+x）=f（2－x）.②
生：由②式知f（x+4）=f［2+（x+2）］=
f［2－（x+2）］=f（－x），
再由①式得f（x+4）=f（x）.
所以，当x∈［－6，－2］时，f（x）=－（x+4）2+1.
点评设计1是从图形开始的展“形”分析，是学生最熟悉最擅长的解题方法；设计2从已知条件“x∈［－2，2］时，f（x）=－x2+1”中区间［－2，2］与求解目标中的区间［－6，－2］之间关系，寻找解题的切入口，也是学生处理问题常见的思维方式之一. 两种设计的核心都是以学生的认知起点为解题分析的起点，教师在解题分析中始终扮演的是启发者、引导者、促进者和帮助者的角色.
[⇩]解题探索应该从特殊的、简单的情形入手
对于情况比较复杂、讨论情形太多的题型，可引导学生从特殊的、简单的情形入手，弄清问题的本质所在，找到隐含于其中的规律，以达到化繁为简的目的.
例2设数列a1，a2，…，a6是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0，能否将此数列删去两项，使得余下的项组成的数列（按原来的顺序）是等比数列？若能，写出这个等比数列；若不能，请说明理由.
解析设计
师：删去哪两项后,使得余下的四项（按原来顺序）能组成等比数列呢？
经过学生思考、讨论发现有15种情形.
师：若对15种情形一一加以讨论，显然太麻烦，也很盲目，我们能否先讨论几种情形，看看是否有什么规律可循呢？
（师生互动）删去第一、二项，得到数列a3，a4，a5，a6，如果它是等比数列，那么一定有a=a4a6，从而有a=（a5-d）（a5+d），化简得d2=0，d=0，这与条件d≠0矛盾，故此种情形不合题意.
若删去第一、三项，则得数列a2，a4，a5，a6，其后三项与上述情形相同，故此种情形也不合.
师：上述两种情形中，问题都出现在含有原等差数列中的连续三项a4，a5，a6. 我们大胆猜想一下，是不是若等差数列中的连续三项成等比数列，其公差d一定为0呢？请同学们研究一下.
生：设ak，ak+1，ak+2为等差数列中任意连续三项，它们若成等比数，则有a=akak+2⇒a=（ak+1-d）（ak+1+d）⇒d2=0⇒d=0.
师：看来，要想使删去两项后余下的四项成等比数列，必须使余下的四项中不含原等差数列中的连续三项. 这样我们讨论情形大大减少. 请同学们想一想，只需要讨论哪几种情形即可？
组织学生讨论后知道只要讨论如下6种情形.
（1）删去a1，a4得数列：a2，a3，a5，a6；
（2）删去a2，a4得数列：a1，a3，a5，a6；
（3）删去a2，a5得数列：a1，a3，a4，a6；
（4）删去a3，a4得数列：a1，a2，a5，a6；
（5）删去a3，a5得数列：a1，a2，a4，a6；
（6）删去a3，a6得数列：a1，a2，a4，a5.
师：逐一讨论这6种情形仍然有些麻烦,能否再缩小一下讨论的范围呢？
（师生互动）（1）（2）两种情形都含有a3，a5，a6，若成等比数列，则有a=a3a6⇒（a3+2d）2=a3（a3+3d）⇒a3=－4d. 此时，情况（1）（2）中数列分别为－5d，－4d，－2d，－d；－6d，－4d，－2d，－d，它们均不可能成等比数列.
情况（5）（6）都含有a1，a2，a4，若成等比数列，则a=a1a4⇒a1=d . 此时情况（5）（6）中数列分别为d，2d，4d，6d；d，2d，4d，5d，也不成等比数列.
情况（3）中的数列若成等比数列，则有a=a1a4⇒a1=－4d . 此时，情形（3）中的数列为－4d，－2d，－d，d，不成等比数列.
情况（4）中的数列若成等比数列，则有a=a1a5⇒d=2a1. 此时，情况（4）中数列为a1，3a1，9a1，11a1，不成等比数列.
所以，不能将数列a1，a2，…，a6删去两项，使得余下的项组成的数列（按原来的顺序）是等比数列.
点评此类题型对学生思维的探究性、灵活性要求较高，解题分析过程中教师的参与度相对要高一些，但又不能代替学生的思维. 因此，教师用于启发学生思考的语言和所提的问题要恰到好处，就必须精心设计.
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[⇩]解题分析应该联系学生学过的知识、方法进行
学生掌握的数学知识与方法是解题方法产生的“生长点”和“固作点”，解题分析若能从这一角度展开进行，往往显得比较自然、亲切，学生也乐意接受和思考.
例3已知点O为ABC所在平面上一点，且+2+3=0，求OBC与ABC的面积之比.
解析设计1
师：同学们回想一下有没有学过与条件等式“+2+3=0”相似的向量知识.
生：三角形的重心向量形式++=0与它相似.
师：+2+3=0中系数不全是1，怎么办？
生：延长OB到B′，使得OB′=2OB，延长OC到C′，使得OC′=3OC.
得++=0.
师：按照同学们的意思，我们可以画出图2，由++=0知道点O为AB′C′的重心.
[A][B][O][D][C][C′][B′][E]
图2
我们能否利用图2求OBC与ABC的面积之比呢？请同学们试一试.
（师生互动）延长AO交BC于D，交B′C′于E，连结BE，则点E为B′C′的中点，BE为B′OC′中位线. 所以BE∥OC′，且BE=OC′.
因为OC′=3OC，所以==，所以=.
又点O为AB′C′的重心⇒=.
所以=，=.
所以，=.
师：若将条件+2+3=0变形为++=0，我们可在ABC内构造三角形AB′C′，点O是A′B′C的重心，如图3，其中=，=，请同学们课后利用图3完成此题.
[A′][A][O][C][B][B′]
图3
解析设计2
师：根据以往的解题经验，利用向量的坐标形式解向量题是一条重要途径，也比较方便，此题能否一试呢？如果想试的话，首先考虑的是直角坐标系的建立，怎么建呢？观察条件知道，点O应当是坐标原点的“最佳人选”，接下来，坐标轴怎样建立才恰当呢？
学生动手建直角坐标系，教师巡视，几分钟后，选择一些具有代表性的直角坐标系进行投影，组织学生展开讨论，得出图4的直角坐标系比较恰当，理由是有利于向量，，坐标的设出.
（师生互动）以点O为原点，以向量所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图4，设A（m，n），B（t，0），C（p，q）.
[O][A（m，n）][C（p，q）][B（t，0）][y][x]
图4
因为+2+3=0，所以（m，n）+（2t，0）+（3p，3q）=（0，0）.
所以n+3q=0⇔n=－3q. 所以=.
同理=，所以=.
点评通过该题的分析可使学生学会抓住题设条件或结论中蕴涵的一些重要特征，联想所学知识、方法或会解会做的题型，利用它们的相同点或相似点等，展开探索，最终解决问题.
[⇩]解题思路应该在解题方向的不断探索和调控中生成
有些问题的解题方向隐藏较深，一时难以确定，我们可先估计一个大致的方向尝试探索解题的思路，在探索的过程中不断调控解题方向，使解题的思路逐步明晰化.
例4已知向量，，满足：・=・=・且a+b+c=0，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，试判断ABC的形状.
解析设计
师：一般地，我们通过边或者角来判断一个三角形的形状，依据本题的条件，我们该走哪条“路”？
学生思考、动手推算，也可以讨论，几分钟后提问，可能有人说通过边判断，有人说通过角判断，……
师：从题目所给条件看，要推出角A，B，C的关系不容易. 注意到条件中已出现三边a，b，c关系式a+b+c=0，我们能不能把解题的方向初步确定为推出三边a,b,c的关系判断ABC的形状？请同学们沿着这一方向试一试.
学生再次进行思考推算，教师从旁观察，并提醒・=・=・中的式子表示向量的内积，而a+b+c=0是它们的线性和，怎么利用这两个关系式呢？
引导并由学生推出以下过程. 设・=・=・=k，
在a+b+c=0两边都乘以向量得2=－k.
同理2=－k，2=－k.
师：接下去朝哪个方向走呢？我们本意是推a，b，c三者的关系，现在推出的是，，的平方值，能否由它们来寻找a，b，c的关系呢？由向量运算的三角形法则知ABC三边所在的向量满足下列关系=－，=－，=－，能否借助于这一组关系向下探求呢？
（师生互动）在ABC中，+=，两边平方得2+2・+2=2.
所以c2+2（－）（－）+a2=b2⇒k－2=－.
所以k+k=－⇔・k=－. ①
同理，k=－. ②
由①②两式消去k得=.
化简得（a-b）［c2－（a+b）2］=0.
因为a+b>c>0，所以c2－（a＋b）2≠0.
所以a－b=0，即a=b.
同理可证b=c.
所以，ABC是正三角形.
点评能独立完成本题的学生不是很多，主要困难是解题的方向难以确定. 所以，本题教学设计的着力点是启发学生思考、讨论解题的方向所在，完整的解题过程在学生的讨论和师生互动中由教师同步写出，以便学生对整个思考过程进行反思、回顾和体会.
解题分析所用之题必须具有一定的针对性和概括性，必须体现核心数学知识和思想方法的运用，反映一类典型问题的“通性通法”. 解题分析的教学设计必须具有一定探索性、师生的互动性及学生的思维参与，使学生能从中启迪思维、锻炼能力. 另外，解题分析的教学设计虽然只是一种预设，不能完全反映真实的解题教学过程，但是凡事预则立，不预则废，科学合理的设计一定能为解题教学的有效性提供强有力的支撑和保证，这是不容置疑的！
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