从商榷到深化

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文[1]对2012年高考数学山东卷理科第16题的答案提出商榷，本文从这个商榷的失误出发，谈一个认识的深化.

1 关于商榷

2012年高考数学山东卷理科第16题是：

1.1 心理性错误心理性错误主要指解题主体由于某些心理原因而产生的解题错误.本例中，题目并没有说OP是圆的切线，原答案求出（2 sin2 1 cos2）P？？，也没有用到“切线”条件，这个“条件”是文[1]自己“默认”或“潜在假设”添加上去的，其添加的依据很可能是图1的粗糙直观：OP像是切线.由图形的诱发、“默认OP为圆的切线”，这主要是心理性错误，而由此又导致知识性错误和逻辑性错误.

1.2 知识性错误

知识性错误主要指所涉及的内容不符合数学事实.把不是切线的OP误为圆的切线，本身就是一个知识性错误，由这个假命题出发，文[1]推出了一系列的假命题，表现为一个个知识性错误.

表现1 由切线的性质得2OPOA==，但2OP =有知识性错误.

1.3 逻辑性错误

逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理或论证上的错误.本例主要表现在两个地方：

表现1 前提不真.上述知识性错误的种种表现，概源于“OP为切线”的潜在假设，由此出发得出的错误结论，不在于推理过程，而在于前提“OP为切线”失真，所以，这里的逻辑性错误在于“前提不真”.对错误的前提进行推理，当然就得出错误的结论了.

表现2 条件互相矛盾.众所周知，给题目增添条件，有时只是降低了题目的难度，并不导致假命题，为什么本例会导出一个个知识性错误呢？我们说，“OA为切线且等于2”时，“OP一定不是切线，OP一定不等于2”，文[1]让“2OA =”与“OP为切线”同时成立，本身就是互相矛盾的，对互相矛盾的条件进行有效推理，当然就得出错误的结论了.

2 一个深化

2.1 问题的提出

上面，我们就事论事地讨论了文[1]的错误，要害是当2OA =时OP一定不是切线，那么，当2OA≠时，是否存在一点P，使OP是圆的切线呢？这是一个探究性的问题.

一般地，一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点P的轨迹叫做摆线，又叫做旋轮线.摆线有周期性，图2（圆的半径为r）显示了其中一栱.摆线有广泛的实际应用，在机械传动中，有的齿轮的齿形线就是摆线的一部分.

上述探究性的问题是：摆线上是否存在一点P，使OP为滚动圆的切线？

2.2 问题的解决

例2 如图2，在平面直角坐标系xoy中，一个半径为r的圆的圆心的初始位置为（） 0 r，，此时圆上一点P的位置在（） 0 0，，当圆在x轴上滚动时，请问是否存在这样的点P，使OP为滚动圆的切线？证明你的结论.

解 如图2，设滚动中圆心移动到（）

C rt r，，

不失一般性，取0πt

以上个人看法，盼批评指正.

参考文献

[1]刘海龙.关于2 012年高考山东数学理科卷第16题答案的商榷.福建中学数学.2013（7/8）：12-13