基本初等函数

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇基本初等函数范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

课本是教师上课之本,学生学习之本,更是高考的命题之本。在高三复习课中,回归课本是正道.对课本的例题、习题进行深入挖掘、变式探究、改造拓展,可以提高复习的针对性和有效性。

【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a)>f(a),求实数a的取值范围．

解析 设x0,有f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,又f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),则f(x)=-x2+2x,故f(x)=x2+2x,x≥0

-x2+2x,xf(a),则2-a>a,故a

课本寻根 必修1P433(3)：画出函数f(x)=x2+2x-1,x≥0

-x2+2x-1,x

必修1P434：已知函数y=f(x)在定义域R上是单调递减函数,且f(a+1)>f(2a),求a的取值范围．

点评 本题是由课本两题综合而得,由函数的图象得到函数的单调性,再借助函数单调性处理不等式问题。课本上两道习题题意相对明确,难度不大,而将两题有机结合,利用奇函数性质先求解析式,再利用图象得到函数单调性,既增加了试题容量,又适当加大了试题的难度。

【例2】 已知a=1223,b=1523,c=1213,d=log1315,则a,b,c,d的大小关系为.

解析 设函数f(x)=x23,则f(x)=x23在(0,+∞)上单调递增,则f12>f15,即a>b．

设函数g(x)=12x,则g(x)=12x在R上单调递减,则g23

又h(x)=log13x在(0,+∞)单调递减,则h15>h13=1,即d>1,综上,b

课本寻根 必修1P9414：设a=0.32,b=20.3,c=log22,试比较a,b,c的大小关系．

点评 比较大小常借助幂、指、对数函数的单调性,课本题比较三个数的大小,突出借助中介“0”与“1”,本题在此基础上,将三个数变成四个数,出现底数同与指数同,利用初等函数的单调性及中介“1”进行求解。

【例3】 已知函数f(x)=loga1-kxx-1是奇函数．

(1) 求k的值；(2) 判断函数的单调性,并给出证明．

解析 (1) 对定义域内任一x,有f(-x)=-f(x),即loga1+kx-x-1=-loga1-kxx-1,

则loga1+kx-x-1+loga1-kxx-1=0,

即loga1-k2x21-x2=0,则1-k2x21-x2=1,

得k2=1,k=1或k=-1．

又当k=1时,f(x)无意义,故k=-1．

(2) 由(1)知k=-1,此时f(x)=loga1+xx-1,函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)．

①当a>1时,设x1x2+1x2-1.又a>1时,对数函数y=logax是增函数,故logax1+1x1-1>logax2+1x2-1,即f(x1)>f(x2),故f(x)在(-∞,-1)单调递减；同理,f(x)在(1,+∞)单调递减．

②当00,即x1+1x1-1>x2+1x2-1.又0

综上,当a>1时,函数在(-∞,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减；当0

课本寻根 必修1P705：求证：函数f(x)=lg1-x1+x(-1

必修1P704：求证：函数y=log0.5(3x-2)在定义域上是单调减函数．

点评 课本中第5题明确地标出函数定义域,第4题没有标出定义域,但需先求定义域。本题将这两题融合在一起,一题设两问,在第5题的基础上引入一个参数,要求先求参数值,由于定义域不明确,故不能用f(0)=0或f-12=-f12特殊值来求k值。第二问,判定单调性,关键有二,一是先求该函数定义域,二是对底数a进行分类讨论。

【例4】 已知x1是方程x+lgx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,则x1+x2=.

解析 整理两个方程为lgx=3-x,10x=3-x,则x1,x2分别为直线y=3-x与y=lgx、y=10x的交点的横坐标,而y=lgx与y=10x图象关于直线y=x对称,所以两个交点也关于直线y=x对称,设A(a,b),则B(b,a),又因A,B都在直线y=3-x上,则b=3-a,a=3-b,故a+b=3,即x1+x2=3．

课本寻根 必修1P78例1：利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确到01).

点评 借用课本例题的数形结合的思想,再加上转化与化归思想,即将函数的零点方程的根两函数图象的交点的横坐标,本题将指数函数综合进来,本质上就是求两个函数零点之和,巧妙避开用计算器的不便,同时深入考查指数与对数函数的图象。

实战演练

1. 关于x的方程x2-4x+3=m有三个不等的实根,则m=.

2. 已知a=12-13,b=513,c=215,d=log215,则a,b,c,d的大小关系为.

3. 已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则a+b+c=.

4. 已知f(x)=loga(ax-1),试讨论函数的单调性．

【参考答案】

1. 由题意知函数y=x2-4x+3与直线y=m有三个不同交点,根据y=x2-4x+3图象可知m=1．

2. a=12-13=213

=

213>215=c,又d=log215

故d

3. 函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x的零点依次是直线y=-x与y=2x,y=log2x及y=x3交点的横坐标,数形结合可知a+b=0,c=0,故a+b+c=0．

4. 由题意知ax-1>0,即ax>1.①当a>1时,x>0,即此时函数的定义域为(0,+∞)．

设0ax2-1>0,则loga(ax1-1)