问不倒(九)

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本讲堂的“不倒翁”精通高中数学“十八般武艺”，一般问题问不倒，不信你来试一试！

不倒翁：沈新权老师

（浙江省特级教师、浙江省数学会理事）

■我一看到函数周期性问题就觉得头疼，特别是碰到抽象函数的周期问题（如ｆ（ｘ+ａ）＝■，ｆ（ｘ）≠0，且ｆ（ｘ）≠1，求ｆ（ｘ）的周期），更是让我觉得无从入手.对于这一类题有没有什么好的应对办法呢？

■解决抽象函数的周期性问题，一是要掌握函数图象的对称性与其周期的关系；二是可用类比的方法来猜想函数的周期性，然后再加以证明.

一、 函数图象的对称性与其周期的关系

对于函数y=ｆ（ｘ），ｘ∈R，

（1） 若x=a，x=b（ａ≠ｂ）是这个函数图象的两条对称轴，则ｆ（ｘ）是以T＝2ａ-ｂ为周期的函数；

（2） 若（ｍ，0），（ｎ，0）（ｍ≠ｎ）是这个函数图象的两个对称中心，则ｆ（ｘ）是以T＝2ｍ-ｎ为周期的函数；

（3） 若ｘ＝ｓ是这个函数图象的对称轴，（ｔ，0）是其对称中心（ｓ≠ｔ），则ｆ（ｘ）是以T＝4ｓ-ｔ为周期的函数.

例已知函数定义在实数集上，且对一切实数ｘ满足等式ｆ（2+ｘ）＝ｆ（2-ｘ）及ｆ（7+ｘ）＝ｆ（7-ｘ）.设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的一个零点为0，求函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［-1000，

1000］中零点个数M的最小值.

解析： 由ｆ（2+ｘ）＝ｆ（2-ｘ）以及ｆ（7+ｘ）＝ｆ（7-ｘ）可知，函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于ｘ＝2和ｘ＝7对称，所以函数ｙ＝ｆ（ｘ）是以10为周期的函数，因此只需考虑函数 ｙ＝ｆ（ｘ）在（0，10］上的零点个数.由于ｆ（4）＝ｆ（2+2）＝ｆ（2-2）＝ｆ（0）＝0，ｆ（10）＝ｆ（7+3）＝ｆ（7-3）＝ｆ（4）＝0，所以ｙ＝ｆ（ｘ）在（0，10］上至少有两个零点；再加上ｘ＝0，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［-1000，1000］中零点个数M的最小值为401.

二、 用类比的方法来猜想函数的周期性

对于问题中提到的这个题，我们可以运用类比思想来加以解决.把ｆ（ｘ+ａ）＝■与ｔａｎｘ+■＝■进行类比，ｙ＝ｔａｎｘ是周期为π的函数，而前式中的常数ａ相当于后式中的■，因此，我们猜测函数ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为4ａ，然后再加以证明.

证明： ｆ（ｘ+2a）=■=■=-■， ｆ（ｘ+4a）=ｆ（ｘ），即函数ｙ＝ｆ（ｘ）是以4a为周期的函数.

■我看到这样一个问题：“将三角形或者四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？”三角形、四边形的情况我能够解决，但如果推广到n边形，我就不知道怎么处理了，请问老师这类题应该怎么解？

■首先我们要肯定这位同学的钻研精神.确实，学数学，不能光满足于问题的解答，要在此基础上提出更有挑战性的问题，如一题多解、改编问题的条件或结论、甚至尝试着对问题进行推广等.这样不仅能够提高我们解决问题的能力，更重要的是能够锻炼我们的思维.

在这个问题中，对于三角形或者四边形，我们可以用排列组合知识加以解决；但对于一般情况下的结论，直接考虑就很复杂了.为此，我们需要构建如下递推数列模型：

设n边形（各边依次为ａ1，ａ2，…，ａｎ）满足条件的涂色方法有ｂｎ种．

考虑n＋1边形的涂法：ａ1有3种涂法；ａ2颜色不同于ａ1，故有2种涂法；……ａｎ有2种涂法；对于边ａｎ+1，如果不考虑它是否与边ａ1同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为3×2ｎ．

在这3×2ｎ种涂色方法中，包括两种情况：第一种是边ａｎ+1与边ａ1的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数记为ｂｎ+1；第二种是边ａｎ+1与边ａ1的颜色相同，对于这种情况，如果我们把边ａｎ+1与边ａ1看做是同一条边，则其涂色方法等同于n边形的涂色方法，即为ｂｎ.不难得出ｂｎ+1+ｂｎ＝3×2ｎ （①）， ｂｎ+1-ｂｎ-1＝（ｂｎ+1+ｂｎ）-（ｂｎ+ｂｎ-1）＝3×2ｎ-1 （②）．

若ｎ为奇数，显然，ｂ3＝3!＝6，套用②式，b2k+1=（b2k+1-b2k-1）+（b2k-1-b2k-3）+…+（b5-b3）+b3＝3×22ｋ-1+3×22ｋ-3+…+3×23+3×2＝22ｋ+1-2 （ｋ∈N*）；

若ｎ为偶数，由①式得，ｂ2ｋ＝3×22ｋ-ｂ2ｋ+1＝22ｋ+2 （ｋ∈N*，且ｋ≥2）.

综上所述，我们得到满足题设条件的n边形的涂色方法数为2ｎ+2 （ｎ为偶数，n≥4），2ｎ-2 （ｎ为奇数，n≥3）.