质量和密度专题辅导命题中心

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［大纲要求］

(1)理解质量的概念及其特性.

(2)掌握密度的概念，会用公式ρ=■及其变式．

(3)了解天平的称量和感量，会使用托盘天平和物理天平．

(4)会测量质量、体积和密度，能灵活运用密度知识解决实际问题．

［应用举例］

例1某同学用托盘天平称物体的质量，称前调节天平平衡时，忘了把游码放在标尺左端的零刻度线处，那么，这样称得的物体质量与实际质量相比()．

A．偏大B．偏小C．相等D．无法比较

解析称量前横梁平衡时，左盘内还没有放物体，而游码在标尺上有一个刻度值，这相当于把游码对准零刻度时，左盘内已放入一定质量的物体．把被称物体放入左盘，增加砝码使天平平衡，由于天平是等臂杠杆，根据杠杆原理可知，物体实际质量等于右盘砝码的总质量．但是，由于此时游码在标尺上已对应一刻度值，分析时，我们把右盘中砝码总质量加上游码对应的刻度值，误认为是物体的质量，因而，测得结果比实际值大．

本题应选A.

没有把游码放在标尺左端零刻度线上就调节平衡螺母，当天平平衡再将游码移至零刻度线处，天平的左端下沉，右端上浮，相当于游码移至零刻度线处后再调节天平平衡时，在天平的左盘中又放入一定质量的物体．该物体质量与实际需要测量的物体质量之和等于右盘中砝码质量，所以需要测量的物体质量小于右盘中砝码的质量，故测得结果偏大．

在游码未移至零刻度线处，即调节天平平衡进行测量，若没有再移动游码，只通过增减砝码使天平平衡，物体质量等于砝码总质量；若向左移动游码至某一刻度，方可使天平平衡，则物体质量等于砝码总质量与游码向左移动的刻度值之差；若向右移动至某刻度值时，才能使天平平衡，则物体质量等于砝码质量与游码向右移动的刻度值之和．

例2为了比较准确地测出一堆相同规格的小橡胶垫圈的数量(估计为1000个)，最好采用下列哪种方法？().

A.将这些垫圈叠在一起，用刻度尺量出总厚度L，再量出一个垫圈的厚度L1，■即为垫圈的总数

B．将这些垫圈叠在一起，用刻度尺量出总厚度L，再量出10个垫圈的厚度L1０，■即为垫圈总数

C．用天平测出这些垫圈的总质量M，再测出一个垫圈的质量M1，■即为垫圈总数

D．用天平测出这些垫圈的总质量M，再测出10个垫圈的质量M10，■即为垫圈总数

解析要估计小橡胶垫圈的高达1000个左右的总数量，是利用长度测量好，还是利用质量关系好呢？当然是利用质量关系比较好．如果要把这近1000个小橡胶垫圈一个一个叠起来，还不如直接一个一个地数出来．而且，把垫圈高高地叠起来以后，重力的影响是不可忽视的，橡胶又是很容易发生形变的物体．所以，这里长度测量的误差就很大了．

因此利用总的质量去除以一个小橡胶垫圈的质量得到总的个数是很好的选择．这里的关键是如何测出一个小橡胶垫圈的质量．直接测量，不妥．一个橡胶垫圈的质量太小，有可能测不出来，即使能够测出来，误差也很大，所以宜采用几个一同测量，再取平均值的方法．

本题应选D．

灵活地运用所学到的物理知识处理生活中的问题是我们学习物理的重要目的之一．质量和物体数目的计量本来是不相关的两个问题，但是质量的知识为我们提供了一条计算数目的简便方法．这里所用到的思维的转换和我国历史上有名的“曹冲称象”的故事颇有异曲同工之妙，可以说是“替代法”的变形．

例3只用天平、烧杯、刻度尺，不用量筒，怎样测定某种液体的密度?

解析由ρ＝■可知，要测液体的密度，必须先测出液体的质量m和体积V.但是题中提供的器材中没有量筒，不能直接测出液体的体积，所以不能直接用密度公式算出液体的密度．但是，我们知道，在体积相等时，两种物质的质量跟它们的密度成正比；在质量相等的情况下，两种物质的体积跟它们的密度成反比，故可以借助跟水的密度相比较的方法来测定．具体方法如下．

方法1用天平称出空烧杯的质量m1，在烧杯里注入水，将水面的位置作出记号，并用天平称出杯和水的总质量m２．把水倒出，注入被测液体，使液面与记号相平，用天平称出液体和杯的总质量m3.

因为烧杯里液体、水的体积相等，则液体和水的质量之比等于它们的密度之比，■＝■，又m水＝m２－m１，m液＝m3－m１，代入、整理得液体的密度ρ液=■ρ水．

方法2往烧杯中注入水，用天平称出水和烧杯的总质量m，用刻度尺测出水的深度h１，倒出水后，往烧杯中注入待测液体，使杯和液体的总质量仍为m，用刻度尺测出液体的深度h２．

因为水和液体的质量相等，水和液体的体积跟它们的密度成反比，即■＝■.设烧杯的底面积为S，则Ｖ水＝Ｓh１，Ｖ液＝Ｓh２．经整理得待测液体的密度ρ液＝■ρ水．

由于题中没有提供直接测量液体体积的工具，但由ρ＝■得V＝■可知，如果知道了某一种液体的密度和质量，就可以算出该液体的体积；再利用等量替代的方法，就可知待测液体的体积，也就可以测出待测液体的密度了．这是一种很有用的解题方法，在解题中要注意运用．

例4某种合金由两种密度分别为ρ1和ρ２的金属构成，求下列两种情况下合金的密度．

(1)两种金属的体积相等；

(2)两种金属的质量相等．

解析合金的密度等于合金的总质量除以合金的总体积．而合金的总质量等于组成合金的两种金属的质量之和，合金的总体积等于组成合金的两种金属的体积之和．

(1)设组成合金的两种金属的体积都为V，则

密度为ρ1的金属的质量为m１＝ρ1V，

密度为ρ２的金属的质量为m２＝ρ２V.

合金的密度为

ρ＝■＝■＝■＝■.

(2)设组成合金的两种金属的质量都为m，则密度为ρ1的金属的体积为V1＝■，密度为ρ２的金属的体积为V２＝■．合金的密度为ρ′＝■＝■＝■＝■.

例5 一件用金、银制成的工艺品，体积是20cm3，质量是280g，求这件工艺品的含金量．

（ρ金＝19.3×103kg／m3，ρ银＝10.5×103kg／m3)

解析要求含金量，可以求出金的实际质量，除以总质量280g得到质量的百分比．也可以求出金的实际体积，除以总体积20cm3得到体积的百分比．由金、银制成的合金工艺品，在不考虑体积变化的情况下，总质量就是金的质量和银的质量之和，总体积就是金的体积和银的体积之和．

考虑到题目给的条件的具体情况，本题计算过程中密度单位就用g／cm3，质量单位就用 g．依题意列出两个等式

m金+m银＝280g

＝19．3g／cm3・Ｖ金+10．5g／cm３・Ｖ银，

Ｖ金+Ｖ银＝20cm3．

解上面二式得

Ｖ金＝7．95cm3，

则含金量为θ＝■×100％=39．8％．

黄金饰品是日常生活中人们经常购买的商品，但是不良商家总是在金里掺银，因为银的价格比金便宜得多，有些号称99．9％含金量的合金里甚至掺有超过5％的银.针对这种情况，我们就可以测出它的质量和体积，再根据上面所提供的计算方法来求出实际的含金量，自己确定商品的真伪．当然，这里有一个前提条件，就是商品是完全实心的．

例6想将一个普通教室内的空气均匀地分装到两个完全相同的容器中．若装入空气前，一个健壮的普通初中生可以轻松地提起若干个这样的容器，那么装入教室内的空气后，正确的分析是()．

A.他至少能够提起一个装入空气的容器

B．他有可能提起两个装入空气的容器

C．一个健壮的学生，基本上可以提起与原来数量差不多的容器

D．以上说法都不正确

解析这是一道运用所学物理知识进行估计的题目．看同学们能不能提起这样的容器，关键是看装入的空气总质量是多少．下面我们根据生活经验，进行相关的计算．

一个普通的不算太大的教室，长度大约是 12m，宽大约是8m，高度大约是3m，体积为 12m×8m×3m＝288m3．在通常情况下，空气的密度我们取1．29kg／m3，这样，教室里的空气质量为m＝ρV＝1．29kg／m3×288m3＝371．52kg.把这些空气分装在两个容器里，每个容器里的空气质量大约为185kg.根据生活的实际经验，一个健壮同学是没有能力提起这么重的东西的．

本题应选D．

在我们的印象中，空气是很轻的物体．和生活中的大多数物质相比，空气的密度当然是小得多，但是这并不能意味着它们的质量可以小得忽略不计．事实上，空气密度虽然很小，但是由于它们是有质量的，由此产生的一些压力、压强却是很大的.

例7某中学要塑造一个运动员形象的大理石全身人像，所选取的模特儿质量是 75kg，要塑造的大理石人像高度是模特儿高度的1．5倍．设大理石的密度为2．7×103kg／m３．试估算塑成的石像质量．

解析求解本题首先要弄清：①石像的体积多大?②人的平均密度多大？

由于像与人外形相似，像与人的各对应线段之比为1．5，故像与人的体积之比应是各对应线段之比的立方，即Ｖ像 ＝1．5３Ｖ人 ．

又因为人体内约70％是水分，人在水中不动时，大体上可认为处于悬浮状态，故人的平均密度等于水的密度，即

ρ人＝1．0×103kg／m3．

m人 ＝ ρ人Ｖ人，m石 ＝ ρ石Ｖ石，

因为Ｖ石 ＝ Ｖ像 ＝ 1 ． 5３Ｖ人，

所以m石＝1．5３・■・m人

＝3．375×2．7 ×75kg＝683kg．

本题有两个难点，一是石像体积，这要根据几何形状相似性对应边成比例，体积比是线度比的立方来确定；二是人体密度，这个主要从游泳的生活经验中找到答案，从而使问题迎刃而解．

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