函数的图像易错点辨析

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数形结合是中学数学中六种重要基本思想方法之一，是数学的本质特征．华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体的图像联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。如何正确地利用图像解决问题，避免出现不必要的错误，是学生应该重视的。

函数的图像是函数性质的直观反映，借助函数图像可以研究很多的函数问题。在中学阶段的每次考试中，都会有这种题目。但是，由于我们平时形成的一些错误的认识，还有惯性思维，不做深入的研究，导致做出错误的图像，从而得出错误的结论。下面列举几个学生容易做错的图像，希望引起大家的重视。

一、方程sinx=x的根的个数为（ ）

错误原因分析：在做y=sinx 和y=cosx的图像时，横坐标一般标0、、、、2.纵坐标一般标值0、1，横纵坐标显示的长度单位应该不同。我们都知道， 的近似值为3.14。因此横纵坐标对应的单位长度之比应该大约是1.5：1。但一些学生习惯上是1：1。这样做下的图像出现误差，可能得到的结论是这个方程有三个根。

我们较准确地做出y=sinx和y=x的图像，如图所示，因为有部分图像看得不太清楚，最好再结合三角函数的性质（1）x）时，sinxx。（2）奇函数的对称性。可以得出结论，y=sinx和y=x仅在x=0时有一个交点，因此该方程只有一个根。应该选B

二、方程sinx=lgx的根的个数为（ ）

错误原因分析：当a 1时，y= 为增函数，当x增大时，函数值也随着增大，但是增大的速度与底a的值有关系，a越小，增大得越快，偏离X轴的速度越快；a越大，增大得越慢，偏离X轴速度越慢，因此不能把所有的对数函数的图像都做成一种形状。我们可以借助几何画板具体研究一下对数函数的图像，随着底数的变化，可以看出图像形状的变化很大。

做出y=lgx和y=sinx 的图像，很显然，方程有三个根。我们也可以借助于对数的性质，因为lg3

三、方程1.3=x的根的个数为（ ）

A0个 B1个 C 2个 D 3个

错误原因分析：在必修一我们学习过指数函数的图像和性质，还学了三种不同的函数增长模型。a时，当x，指数函数的增长速度最快，比幂函数y=x的增长速度要快得多。从图像上看，就是当x很大时，指数函数的图像要比幂函数的图像陡得多。有些同学不做深入分析，简单地就把y=1.3画在y=x的上方。从而得出错误的结论。

实际上，对于指数函数，当底数大于1但比较接近于1时，x的值不很大时，指数函数的图像是比较平缓的，增大的速度比较慢。

作出 y=1.3和y-=x的图像，可以看出这两个函数有两个交点。因此方程有两个根。应该选C

四、方程（a>1）的根的个数可能是（ ）

A0个 B1个 C 2个 D 以上都有可能

错误分析：有的同学认为没有根。因为他们以为，当a>1时，指数和对数函数的图像，完全可以用指数函数y=和对数函数y=的图像来代替表示。殊不知，a取不同值时，这两种图像的交点会发生变化。

对于指数函数y=和对数函数y=log，当a>时，两函数没有交点；当a=时，两函数只有一个交点；当1〈a〈时，两函数有两个交点。下面三个图分别是取a=2，. a=，a=1.4 时对应的图像。

很显然，在本题中应该先D

通过上面一些例子，我们可以看出，如果我们不养成科学、严谨的习惯，就有可能犯错误。在平时的学习中，我们可以借助于一些多媒体课件，例如几何画板多研究各种函数图像，形成直观的印象，注意参数的取值对图像的影响。只有平时多看、多做，才能不出现做图的错误，从而正确地利用图像解决数学问题。

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