常见最值问题分类剖析

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专题策划：最值问题巧突破

编者按：最值问题遍及高中数学的所有知识点，综合性强，是高考的必考内容.同时，最值问题可以将各种知识作为背景来进行考查，形式多样，不容易被考生所掌握.如果考生从最值问题的常见类型、求解策略以及解答时的易错点三个角度来备考并加以掌握，其实最值问题也没想象中那么难.

近几年高考中的最值问题，在考查内容上，涉及的知识点广泛，如求函数的值域，求数列中的最大项或最小项，求数学应用问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题；在解题方法上，求最值的方法有很多，如判别式法、均值不等式法、变量的有界性法、函数的性质法、数形结合法等.

1.二次函数的最值

求解二次函数的最值一般是先配方，再借助二次函数的图像解答.数学中的很多最值问题最后常转化为二次函数的最值问题来求解.

例1 （2008年高考重庆理科卷）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为

难度系数 0.70

解 选C.

小结 二次函数的最值问题是其他很多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性最值问题）的基础.最值问题要特别强调“定义域优先”的原则，本题实质上是求给定区间内的二次函数的值域问题.

2.导数法求最值

导数的引入为函数最值的求解开辟了一条新路，我们通常用导数法求函数的最值要比用初等方法简便得多，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法.

设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：

①求函数在内的极值；

②将函数的各极值与， 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

例2 （2011年高考江西理科卷）设上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（2）当在上的最小值为，求在该区间上的最大值.

难度系数 0.60

解 （1）解答过程省略.

（2）令，可得两根所以在和上单调递减，在上单调递增.

当时，有，所以在上的最大值为又即在上的最小值为于是得从而在该区间上的最大值为

小结 本题主要考查函数与导数的基础知识.导数是研究函数单调性及最值的有效工具.

3.均值不等式求最值

均值不等式：若，则当且仅当时等号成立.应用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.

例3 （2012年高考湖南理科卷）已知两条直线 和l1与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，的最小值为

难度系数 0.55

解 由题意得选B.

小结 本题除了考查考生对对数函数图像的理解外，还考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解题时应注意将配凑成的形式，再利用基本不等式进行求解.

4.辅助角型三角函数最值

求函数y=asin ωx+bcos ωx的最值可以转化为求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函数的有界性可求.

例4 （2011年高考新课标理科卷）在则AB+2BC的最大值为 .

难度系数 0.65

解 最大值为2

小结 本题考查正弦定理的应用及三角函数的性质和公式的应用，熟练运用化一公式并利用函数的有界性处理是解答问题的关键.

不等式的恒成立问题

不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题来求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的有成立，求实数k的最小值；

（Ⅲ）证明难度系数 0.50

解 （Ⅰ）据题意可知函数 的定义域为由当x变化时的变化情况如下表：

因此， f（x）在x=1-a处取得最小值.由题意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.

（Ⅱ），取，有，故不合题意.当时，令，即，于是

令，得

①当时， 在上恒成立，因此在上单调递减.从而对任意的，总有，即在上恒成立.故符合题意.

②当时，对于，故在上单调递增.因此，当取时，，即不成立.故不合题意.

综上可知，k的最小值为.

（Ⅲ）证明过程省略.

小结 本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想以及考生综合分析问题的能力.

夏远景，湖南省特级教师，现任长沙市周南中学数学教研组组长，湖南省中学数学专业委员会理事，湖南省高中新课改领导委员会委员兼数学专家组组长，湖南省教科院兼职教研员，湖南省政府督学专家。曾主持8个国家级、省级课题的研究并获奖，参编10多种教材，在国家级和省级杂志上发表文章60余篇。送高三毕业班16届，有30多位学生先后考入清华大学和北京大学，辅导学生参加高中数学奥林匹克竞赛，有60多位学生获得国家级奖和省级奖。