理解数学本质 促进数学建模

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[片断一]

师：你能猜出34 + 16的结果是多少？

生1：是50，我是这样想的：34加6得40，40再加10就得50。

生2：我也得50.我用30加10得到40，4加6得10，然后合起来也是50。

师：有什么好办法能证明这个结果是对的呢？

生1：摆小棒、拨计数器试试。

生2：列竖式再算一遍。

师：这些方法都不错，我们先来摆小棒试试。如果用小棒表示34加16，怎样摆比较合适呢？先和同桌商量好后再操作。

生：我先摆3捆4根， 再摆1捆6根，4根加6根是10根， 10根可以再捆成1捆。这样就一共有了5捆，也就是50。

师：摆放的位置有什么要求呢？

生：捆对捆，根对根。

师：你这样摆有什么好处？

生：看的清楚、明白。

师：4根和6根合成1捆后，这一捆你们觉得位置该放在哪儿最合适？

生1：不清楚，随便放吧。

生2：就在后面吧

生3：也可以摆在下面吧。

师：能说明理由吗？

生3：前面都是整捆的，这样对齐好看。

师：你说的意思

是这样的吗。（出示图片）

一、数形结合，展露 “1”

在一些观摩课中我们常看到，很多教师在执教这段内容时常常按教材要求：“先用小棒摆一摆或用计数器拨一拨，再想想用竖式怎样计算。”为学生准备多样的学具，以小组合作的形式让学生自由选择学具随意操作，然后全班汇报总结各种操作方法，学生很快就能得到34 + 16的竖式方法，问题解决看似即开放又多样。然而，基于低年级学生好动、好玩的特点，他们一会儿摆小棒、一会儿拨算珠，再来写竖式，试图将所有方法都摆弄一次，这样的自由操作的过程常常出现的问题是蜻蜓点水、浮光掠影、浅尝辄止，缺乏深入的思考，知识的获得多数来自直接的信息传递。

[片断二]

师：通过摆小棒我们很快得到了正确结果是50，借助计数器你怎么验证？

生1：我先在十位上拨3个珠子、个位上拔4个珠子，这样就是34。如何加16， 就在十位上拔1个珠子、个位上拨6个珠子。

师：个位上的10个珠子就不动啦？就像屏幕上的图示，这时怎么读？

生1：这样数就不怎么好读，四个十，10个一。

生2：不行，一定要把个位上10个珠子进向前一位。

师：不进位行吗？

生：不行，一定要“满十进一”。

师：怎么拨？

生：把个位上的10珠子去掉，在十位上再拨一个。

师：10个珠子就换1个珠子呀？

生：因为它们的位置不同，1在十位上哦，是1个十。

二、位值体悟，领会“1”

拨算珠比摆小棒更容易过渡到竖式计算，学生在拨珠说数的过程中， 由最初抽象的几何图形到现在的数学表达式， 恰恰体验了数学模型的建构过程。

首先，学生要在计数器上定好数位，然后再拨上36，还要加16该怎样再计数器上表示出来。紧接着“这时怎么读？”这一问题的提出，将学生的思维由矛盾冲突又一次引向深入。随后计数器个位与十位上珠数的变化的过程，让学生在珠、数联结中体现“满十进一”迫切需要。这样教学不仅可以让学生直观地看到10个一是1个十，10个十是一个百，还扩展到“哪一位上相加满十，都要向它的前一位进1”，从而形成了“满十进一”整数加法的数学模型。

[片断三]

师：用竖式该怎样表示呢？

生1：我是这样想的，十位上3加1等于4，就是40，个位上的6加4等于10，这个10我把它放在心理，40加10就等于50。

生2：个位4加6得10，十位3加1得4， 10和4合起来就是410。

师：你想的410其实是多少呢？

生：50呀。

师：应该用40加10才得到50哦。这个1可以写在哪儿呢？

（学生改写竖式）

生1：我觉得1一定要和十位上的数对齐哦。

师：这个1与原来的数要有点区别，我们要让它像“孙悟空72变”那样变！变！变！你们觉得变得大好还是变小好呢？

生1：我觉得大比较明显。

生2：太大就和数字一样，分不清。

生3：还是小的好，写起来方便。

师：放在哪儿合适呢？

生1：放在十位上。

生2：放在横线上面吧。

师：说的有道理，书上表示的方法和你们想的一样吗？（学生阅读书本，验证自己的想法）

三、算法尝试，变脸“1”

通过摆小棒与拨珠的实践活动，学生已经深刻理解“满十进一”的计算原理。然而，由于学生首次接触进位加法的竖式写法，进位的“1”写在哪儿？怎么写？为什么这样写？在学生的头脑中还未形成深刻的概念。案例中将“1”的写法抛给学生，“是变大还是变小？”这一简单的问话引发学生在观察、猜测、实验、推理与交流等数学活动中，逐步形成对竖式计算格式的需要和建构，感悟竖式计算所特有的数学思维方式，引发学生对进位加法计算道理的深刻理解。

以上案例显示，学生在经历数学化过程中，将现实问题（摆小棒）抽象成数学问题（满十进一），再结合（算珠）建立数学模型、通过（变大变小）修正数学模型并再建立数学模型。为此，教学中要基于学生特点，要因材施教，循序渐进，善于结合教材内容抓住数学的本质，合理设计问题促进学生的数学理解，引导学生逐渐体会构建数学模型的优势、构建简单的数学模型。