几何综合题: 感悟“递进式”求解策略

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初中段几何知识点众多，中考要在有限的十几道考题中最大可能地涵盖知识点，就得在知识交汇处设计考题，这必然使得几何综合题成为考查趋势，它也就成为了各地中考重点考查内容之一.

（2011广东广州）如图1，在O中，AB是直径，C是O上一点，∠ABC＝45°，在等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上．

?摇（1）证明：B，C，E三点共线.

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM.

（3）将DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为D1CE1（如图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（1）要证明三点共线，即证∠BCE＝180°，这很容易证明. 对于（2），有多种策略，最明显的策略是根据中点构造中位线，即连结BD，AE，从而利用中位线的性质证明OMON，且OM＝ON，即得证；也可以连结ON，OA，OC之后，通过证明两个三角形全等，从而得到OMON，且OM＝ON，也可得证. 对于（3），只是将第2小题一般化，思路方法与第2小题的证明完全相同．

（1）因为AB为O的直径，所以∠ACB＝90°. 因为DCE为等腰直角三角形，所以∠ACE＝90°. 所以∠BCE＝90°＋90°＝180°. 所以B，C，E三点共线．

（2）连结BD，AE，ON．因为∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，所以BC＝AC. 因为DC＝DE，∠ACB＝∠ACE＝90°，所以BCD≌ACE. 所以AE＝BD，∠DBE＝∠EAC. 所以∠DBE＋∠BEA＝90°. 所以BDAE. 因为O，N为中点，所以ON∥BD，ON＝BD. 同理OM∥AE，OM＝AE. 所以OMON，OM＝ON. 所以MN＝OM.

（3）成立，证明如下：旋转后∠BCD1＝∠BCE1＝90°－∠ACD1，所以仍有BCD1≌ACE1. 所以ACE1是由BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1AE1. 其余证明过程与（2）完全相同，此处略．

证明三点共线，通常是证明以中间点为顶点的角为平角；对于“MN＝OM”这样的结论，我们首先应该意识到这应该是等腰直角三角形斜边与直角边的关系，观察图形，确实如此，于是努力证明等腰直角三角形便成了方向；对于图形变换之后的问题，我们通常可以运用类似的思路与方法求解．本题同学们可能出现的错误有两处：一是无法通过“中点”寻找到突破口，因而无法证明OMON，且OM＝ON；二是对于旋转后的图形，因为变得更复杂，而无法厘清自己的思路，陷入困境．

（2011浙江义乌）如图3，在等边三角形ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP． 将ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到A1B1P， 连结AA1，射线AA1分别交射线PB和B1B于点E，F．

（1）如图3，当0°＜α＜60°时，在α的变化过程中，BEF与AEP始终存在______关系（填“相似”或“全等”），并说明理由.

（2）如图4，设∠ABP=β，当60°＜α＜180°时，在α的变化过程中，是否存在BEF与AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由.

（3）如图5，当α=60°时，点E，F与点B重合． 已知AB=4，设DP=x，A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.

（1）从α的变化过程中，不难发现∠PAA1 ＝∠PBB1 ＝=90°－.

又∠PBB1 ＝∠EBF， 所以∠PAE＝∠EBF. 又因为∠BEF＝∠AEP，所以BEF ∽AEP．

（2）假设存在BEF与AEP全等．

由（1）知∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－， ∠BAE＝60°－90°－=－30°．

要使BEF≌AEP，只需满足BE＝AE，即∠BAE＝∠ABE，进而得到α与β之间的数量关系式为－30°=β，即α＝2β+60°．

（3）如图6，当α=60°时，PAA1是等边三角形， 可得A1H＝（2+x）． 在RtABD中，BD＝2， 所以BG＝2－（2+x）=－x．

由旋转知APB≌A1PB1， 所以A1B1＝AA1＝4.

所以S关于x的函数关系式为SA1BB1 =×4×－x=2－x．

（1）相似，理由如下：由题意得∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝ A1P，BP＝B1P，则∠PAA1 ＝∠PBB1＝=90°－. 因为∠PBB1＝∠EBF，所以∠PAE＝∠EBF. 又因为∠BEF＝∠AEP，所以BEF∽AEP.

（2）存在，理由如下：易得BEF∽AEP，若要BEF≌AEP，只需满足BE＝AE即可. 所以∠BAE＝∠ABE. 因为∠BAC＝60°，所以∠BAE＝60°－90°－=－30°. 因为∠ABE＝β，∠BAE＝∠ABE，所以－30°=β，即α＝2β+60°.

（3）如图6，连结BD，交A1B1于点G，过点A1作A1HAC于点H．

因为∠B1A1P＝∠A1PA＝60°，所以A1B1∥AC.

由题意得AP＝A1P，∠A＝60°，所以PAA1是等边三角形. 所以A1H＝（2+x）. 在RtABD中，BD＝2，所以BG＝2－•（2+x）=－x. 所以SA1BB1 =×4×－x=2－x （0≤x＜2）.

?摇对于第2问，关键是要能发现并运用关系式“∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－与∠ABE＝∠BAE＝60°-∠PAA1”. 对于第3问，要求S关于x的函数关系式，可从A1BB1的面积入手，关键是确定BG和A1B1．

几何综合型问题不一定都是难题，对于多知识点交汇处设置的综合型、基础型、中档题问题，它们都可以成为中考命题的热点之一；另外，中考试卷通过设计几何综合型问题实现区分度也是必要的，如图形运动探究问题、存在性问题等都是近年来热点题型．善于积累“模式”（或说基本图形）是提高几何综合题解题能力的有效方法．